数学丨20 第一次数学危机怎么发生的？

上节课，我们讲解了勾股定理的诞生和它的发展过程。不过，你知道吗，勾股定理还差点让整个数学界崩塌。让这节课，我们就继续上节课的内容，来讲一讲它究竟是如何给数学界带来巨大震动的。

万物皆数

在前面的课程里，我们说过，毕达哥拉斯学派，是一个主张“万物皆数”的学派。这个“万物皆数”就有点类似中国古代的“道生一，一生二，二生三，三生万物”这种感觉。在毕达哥拉斯的眼里，宇宙间的一切东西，都可以用“数字”量化表示。但是请注意一点，这里的数字，跟我们现在所说的数字还不太一样。这里的“数字”仅仅指的是有理数。

那么，什么叫有理数呢？小学课本上是这么描述的：有限小数和无限循环小数就叫做有理数。当然了，整数也算是一种特殊的有限小数，只是整数的小数点后面，什么都没有。这个概念，其实也可以用另一个方法来描述：有理数就是整数或者整数之比。

有的同学可能就不乐意了，说：“老师，你凭什么能说有理数只包含整数和整数之比呢？整数很好理解，难道所有的有限小数和无限循环小数，都可以表示成整数之比的形式吗？”有时候，数学往往就是这么简单。我们来举几个例子。

首先是有限小数，这个非常简单，比如0.6，那么我们就可以写成十分之六，也可以约分成五分之三。再比如0.83，我们就可以写成一百分之八十三等等。那么无限循环小数，该怎么表示呢？其实，无限循环小数一样很简单。比如0.666……就等于九分之六，也就是，三分之二。如果是0.8383……就等于九十九分之八十三。

那现在，老师随便说一个循环小数，同学们能不能模仿着老师刚刚的步骤，一口报出答案呢？0.743743……对，你想的没有错，就是九百九十九分之七百四十三。肯定有很多同学很奇怪，为什么会这样？

其实道理很简单，比如我们拿0.8383……来举例子，首先，这个数相当于83个0.0101……而0.0101……乘以99刚好等于0.9……而其实，由于循环小数本身就不是一个精确的数字，所以零点九循环其实就等于1。所以，也就很好理解0.8383……就等于九十九分之八十三啦！

有理数是稠密的

有了对有理数的认识，我们再回到“万物皆数”这个观点。在毕达哥拉斯眼里，所有的数都应该是有理数，要么是整数，要么就是整数之间的比的形式。产生这个想法的原因也很简单。因为，有理数是稠密的。

这句话的意思就是，任何两个有理数之间，必然还存在有理数。这当然是显然的，因为我们只要取这两个数的平均数，就一定是存在在这两个数之间的有理数。所以，无论两个数多么接近，它们之间一层一层找下去，肯定还可以找到无穷多个有理数。

所以，毕达哥拉斯就认为，有理数已经足够稠密，占据了所有的空间。这就是人类第一次，对有理数有了一个完整的过程。当然，我们可以用一个形象的例子来解释人类对数字的认识过程。如果把人们对数字的认识比作一个瓶子，最开始，人类不认识数字的时候，瓶子里就是空的。后来人们逐渐认识了整数，于是瓶子里就放满了小石子，这些小石子就表示人类认识的整数。

后来毕达哥拉斯在沙滩上找到了细沙，于是把细沙慢慢放进瓶子里，直到沙子填满了整个瓶子。而这些沙子，就代表整数之比，也就是小数。这时候，他满意的点了点头，认为瓶子已经放满了，甚至连一粒沙子都丢不进去了。这也是人类当时对数字的全部认识。

但是他没有想到的是，我们还可以把水倒进瓶子里，这些水，既不是石子也不是沙子。所以，可能还存在另一种数。

无理数的发现

我们上节课说过，毕达哥拉斯后来又发现了毕达哥拉斯定理，在中国也叫勾股定理。我们知道，毕达哥拉斯定理就是描述直角三角形问题的。而直角三角形中最特别的一个，就是等腰直角三角形。于是，渐渐地，一个新的问题诞生了——如果一个等腰直角三角形，它的腰长是1，那么这个三角形的斜边长是多少呢？

人们发现，这个边长不仅不是整数，而且无论如何也不能用两个整数比表示出来。这让毕达哥拉斯的信徒们很是恐慌，于是，他们甚至拒绝承认这样的数字是数字。因为在他们的认识里，数字只能是有理数。然而，可怕的是，这样的数字还不止这一个。两条直角边长分别为1和2的直角三角形，斜边长也是这样的数。半径为1的圆，周长也是这样的数……

所以毕达哥拉斯的信徒们就给这样的数取了一个名字，叫做无理数。这个词，在古希腊，不仅表示没有道理，更有一种不可理喻的意思。他们的思想里，这样的数就更怪物一样，无法理解，不被接受。所以毕达哥拉斯的学生们封锁消息，不希望老百姓知道这个可怕的事情。

然而，有一个叫做希帕索斯的学生站了出来。他指责大家这样做是不对的，并向老百姓说出了无理数可能存在的事实。然而，真理往往是需要付出代价的。毕达哥拉斯的信徒们觉得希帕索斯背叛了自己，于是将他丢进了大海处死了。而正是由于希帕索斯将无理数存在这个事实说了出来，数学界的权威一下子消失一空。很多人开始认为数学家是邪教组织，长达两千多年的第一次数学危机，也就此开始。

直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的这次大危机。

在实数理论下，两条直角边都是1的三角形，斜边就是根号二。而这个根号二，是一个无限不循环的小数，也就是我们学习的无理数啦！

课后练习

好了，这节课，我们详细介绍了人们对数字，由整数，到有理数，再到实数的认识过程，讲解了无理数，从被人认为是不可理喻的数，到慢慢被大家所接受的过程。下节课，我们就接着这节课的内容，来给大家讲一讲一个特别独特的无理数——π。我们不见不散！