数学丨21 化圆为方可能吗？

上节课，我们讲解了第一次数学危机的诞生，以及直接导致它发生的无理数，这节课，我们就接着上节课的内容，来讲一个最特殊的无理数，圆周率（pai）π。

对圆的认识

在我们这个世界里，圆随处可见。比如一些水果，像橙子啊，猕猴桃啊。从横截面切开，切面就是一个圆。还有我们平常看到的太阳和月中的月亮也是圆的。

可以说，圆是平面图形中，最工整的一个。无论你怎么旋转它，看起来都跟静止在原地一样。无论你从哪个角度看，看到的也都会是一模一样的形状。我们在电视上看到一个明星觉得特别好看，那我们通常喜欢说这个人360度无死角。这个360度无死角，最早也是从圆里来的。

随着社会的进步，人们发现圆不仅是好看，还有很多实际的用途。比如说，人们利用圆的旋转对称性质，造出了轮胎。于是后来就造出了车。再比如，还是因为圆的对称性，我们现在见到的几乎所有的井盖都是圆形的。因为不管把井盖做成别的什么样子，长方形啊，三角形啊，平行四边形啊，都很容易掉下去。只有圆形的井盖，才是最牢固的，无论你放在什么角度，井盖都掉不下去。

我们的祖先虽然不会造井盖，但是对圆的研究，却从来没有停止过。而其中，最直观的研究，莫过于两个方面，一个面积，一个周长。而这两者之中，又以周长更为直观。所以据史料的记载，至少两千多年前，就有很多人开始计算直径为1的圆，它的周长是多少了。

当然，现在我们都知道，它的周长就是π，π是无理数，大约是3.1415926……但是古人并不知道这些，他们甚至不知道无理数的存在。于是，数学家们前赴后继地研究起这个圆的周长，希望算出一个精确的答案。

化圆为方

公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉，这个名字有点拗口，我们就简称他为阿那，阿那向公众发表言论，说：“世上没有太阳神阿波罗，我们看到的太阳，不过是一团炙热的明火，大概跟我们的一个岛差不多大。”他的观点是进步的，但在当时那个年代，这种言论说出来，不是等于和教会对着干吗？

于是，果不其然，他被法庭判处犯有“亵渎神灵罪”关了起来。然而哲学家就是哲学家，即使关了起来，阿那依然在思考。

有一天夜里，阿那睡不着觉，看见一缕月光透过正方形的铁窗照进了牢房。他透过铁窗望向月亮，竟然看的如痴如醉。一夜过去了，月亮先是比铁窗要大，后来又比铁窗要小，然后又比铁窗大了。

于是他对月亮和铁窗的大小产生了浓厚的兴趣。于是他突发奇想，想在纸上做出一个正方形，使得这个正方形和直径为1的圆一样大。也就是面积相等的意思。起初他认为这个问题很容易解决，谁料想后来，这竟然成了他一生也没有解决出的难题。

另一边，经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，阿那获释出狱。他把自己在监狱中想到的问题公布出来，一时，许多数学家对这个问题都很感兴趣，可是跟阿那一样，他们一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题。

直到1400年后，德国数学家林德曼才依靠现代数学体系，严格的证明了化圆为方是不可能成功的。这也标志着1400年来人们对找到这样正方形的执着，终于画上了一个圆满的句号。

割圆术

相比于国外的化圆为方，中国也有类似的方法，不过更精确一些。魏晋时期，也就是公元3世纪左右，有一位大数学家叫做刘徽。对，就是给《九章算术》写注释的那个大数学家。他就想到了一个办法：

首先，把圆周四等分，把这四个等分点依次连接，在圆中画一个内接的正方形，算出这个正方形的周长，用这个正方形的周长粗略的表示圆的周长。当然，这时候就会产生一个问题。这个圆周长肯定比这个正方形周长要更长。为什么呢？因为我们知道，两点之间线段最短。而我们刚刚做的正方形，和原来的圆都经过了相同的四个点，当然也就是正方形的四个顶点，且每两个点之间，正方形的边长都是线段，所以肯定比圆弧短。

然后，刘徽又想了个办法，把圆周六等分，还是一样把六个等分点依次连接，画出一个内接的正六边形。然后用这个正六边形的周长，近似表示圆周长。就像下面这个图一样：

                   �

刘徽发现，这个六边形虽然周长还是比圆小，但是比刚刚那个正方形要大。所以，肯定相对来说更接近一些。而我们不难发现，因为这个正六边形的每条边长，都和圆的两条半径，组成了一个正三角形。也就是说，它的每条边长都等于圆的半径。那么它的周长就等于三条直径的总长度。这也是《九章算术》中“周三径一”表示的意思——如果一个圆的周长是3，那么直径差不多就是1。

接着刘徽又开始思考，既然我们刚刚把圆分割多了两块，就能得到一个更精确的值，那么我们何不再多分割两块呢？于是，他有把圆分割成8块，10块等等……最后，他发现，分割的块越多，这个正多边形的周长就越接近圆的周长。

最终，刘徽用这一方法，把圆分割成192份，算出了一个相对精确的圆周率：3.14124。刘徽给这个方法取了个名字，就叫做割圆术。割圆术不仅为人类计算圆周率做出了巨大的贡献，更是为后来的微积分提供了思路。当然，这是刘徽也不曾想到的。

两百年过去了，到了南北朝时期，数学家祖冲之不满足于刘徽的计算，一心想计算出最接近圆周率的数值。于是他利用割圆术，将圆周分割成了惊人的正24576边形。并成功的将圆周率的数值，精确的计算到3.1415926到3.1415927之间。

要知道，在那个没有计算机，甚至没有计算器的年代，可能很多地方甚至连乘除法的计算都没有掌握。祖冲之居然能将圆周率的数值计算到跟精确数值的误差只有八千万分之一。这实在是太惊人了！

喜欢看体育节目的同学们都知道，人类最厉害的运动员，通常都能创造出一些世界纪录。比如博尔特跑一百米只用了9.58秒，乔丹在NBA也创造了多项记录。当然，越难被打破的记录，也就代表着创造这项运动员的水平越高。通常，这些世界纪录，短则几个月一年，多则十几二十年，一定会被打破。

而祖冲之计算出的圆周率数值的精确度，毫无意外也创造了世界纪录——最精确的圆周率数字的记录。而这个记录，足足保持了1000年。直到15世纪才被阿拉伯数学家卡西打破。

人类追求最精确的圆周率从未停止，即使在1761年，圆周率已经被证明是无理数，永远不可能精确的表达出来。许多人依然狂热的追求最精确的数值。现在，由于计算机技术的发展，人们已经算出了圆周率小数点后的两万多亿位。并且这个数字仍在不断提高。

总结

好了，这些就是这节课的全部内容了。这节课我们主要讲解了圆周率的起源，以及数学家们为了计算圆周率所创造的几种方法。这些方法，更是为高等数学中的微积分，提供了思想基础。

现在，我来个大家提一个思考题：生活中还有哪些东西，跟圆有关？下节课，我们就来给大家讲讲一个看似与圆无关，但却有着千丝万缕联系的概念，时间。我们不见不散！