常见三角函数的不定积分

可积函数的三种类型:1、闭区间上的连续函数2、只有有限个第一类不连续点的函数是可积得，即分段连续函数是可积的3、单调有界函数必可积这种可积类型叫黎曼可积。随着数学分析的发展，这些可积条件还是显得太强了，出现了勒贝格积分，可积函数的条件更宽松。有兴趣可以去看看数值分析方面的书。

用Excel中的内置粘贴函数PRODUCT()可以自动求1至30个数的积。

函数PRODUCT()：将所有以参数形式给出的数字相乘，并返回乘积值。
函数书写格式：PRODUCT(number1,number2,...)
Number1, number2, ... 为 1 到 30 个需要相乘的数字参数。
举例：在B2：B5单元格区域，依次有数据 12、5、8、23，求这三个数的积。
在任意单元格中输入公式
=PRODUCT(B2:B5)
也可以输入公式为
=PRODUCT(12,5,8,23)
回车确认即可。

第一种公式输入利于公式复制，只要B2:B5单元格区域内数据任意进行修改，其积自动随着修改；后者不会自动修改数据，且如果数据较多，输入或修改就麻烦了。

最常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。现在用导数定义求g'(x)，根据定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。对于最一般形式的变限积分，其积分的上下限都可以是函数，分别用u(x)和v(x)表示，即g(x)=∫f(t)dt（积分限v(x)到u(x)），用类似的方法可以证明，g'(x)=u'(x)f[u(x)]-v'(x)f[v(x)]，这是最一般的变限积分求导公式，任何变限积分求导问题都可用此式解决。

设截面积为S，侧面腰长为X，则底面长为1.2-2X,由题意得
2分之根号3乘以1/2[2(1.2-2X)+X]=S………………………梯形面积公式，[]里是上底加下底的和
整理得
4分之根号3乘X乘（2.4-3X）=S
S是一条开口向下的抛物线，顶点处面积最大
顶点处X=0.4
代入可得S最大为25分之3根号3

初等函数的导数一定是初等函数
初等函数的积分不一定是初等函数
楼上举的例子是不对的
y=根号下[x^2]，这是x的绝对值，是非初等函数

可积和原函数存在完全州滑两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。原函数存在的充分条件：连续。另外函数册芹腊含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷首或型的间断点也不存在原函数。

没有初等函数解。换元后等效为求e^x/x的原函数，这个是没有初等函数表达的原函数的。

狄利克雷函数不可积。狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
狄利克雷函数基本性质是：定义域为整个实数域R；值域为{0,1}；函数为偶函数；无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在；以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。

狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的。

狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。