25. 我“几乎"懂了 -- 数学用语趣谈(1)

(文末有每周一题和上期答案)

大家好，我是大老李，今天这期我准备开一个不定期的系列节目叫“数学用语趣谈“。为什么叫数学用语而不是数学术语呢，因为我想聊的是那些在日常生活中已经普遍使用的词，然后数学家将其借用到数学里使用的词汇，而不是为了数学而专门创造的词。比如今天我们要讲的第一个词：“几乎”！

怎么样，你能想出来数学在哪里能用到“几乎”，英文叫”Almost”这个词吗？是不是“几乎”就要想起来了？我来提醒你一下，你可能听过这么一个命题，叫“实数几乎都是无理数”。是不是粗听上去有点奇怪，有理数那么多，凭什么说实数几乎都是无理数，有理数表示不服。但如果你知道无穷集基数概念，那你不会感到太惊讶，因为你会知道有理数是可数集，也就是它的数量与自然数一样的，但是实数就不是可数集，这就说明无理数在其中起到了决定性的作用。

 康托函数图像：

本周题目：最少几次可以知道女孩的心思？

(来源：fivethirtyeight.com)

你正在跟一个女孩约会，你想给她买一部手机作为礼物。你挑选了一部手机型号，不过你不知道女孩最喜欢哪种颜色的手机。手机可选颜色分别是红，黄，蓝，绿。但女孩并不想直接告诉你她喜欢的颜色，而是要考验你一下。女孩已经将四种颜色从最喜欢到最不喜欢在心里排好序。她允许你每次将任一个颜色序列向她询问，然后她会回答里面有几种颜色正好是她心目中的位置。比如，女孩心中的颜色序列是：红，黄，蓝，绿。如果你问：“蓝绿黄红”，则女孩回答“0”，你若问：“红绿蓝黄”，则女孩回答“2”。

请问，在最不走运的情况下，你至少需要问几次，可以完全确定女孩心中的颜色偏好排列？注：为明确起见，需要一直问到女孩回答“4”算结束，尽管实际上最后一次你可能是已经确定排列顺序了。

上周答案

上周问题是（来源：fivethirtyeight.com）：

某农场主有一块正方形的田地，边长恰好是1公里。他有三个女儿，某天他觉得自己老了，想把这块正方形田地均分给三个女儿。请问，他最少需要修多少长的篱笆，可以把他的正方形土地平分成三份。

规则提示：分割出来的田地只需面积相等，不需要用篱笆包围起来。另外篱笆也不必须是直线的。

很可惜没有人答出最佳方案。

很多人找到了这种方案：

此时，篱笆的总长度是5/3约等于1.67公里。但是篱笆并不必须是平行与边界的，可以是斜的！如果我们用这种方案：

如果取x和y为未知数，由三块面积相等，可以求得，进一步可求得总篱笆长度是：

问题转变为求以x为变量，上述函数的最小值。可以求得（终于觉得用导数求极限有用了…）时L有最小值约1.635公里。恭喜“再见卡农”找到了这个方案！但篱笆也不必须是直来直去的！如果考虑如下方案：

可以证明，当两段短篱笆是圆心角30°的圆弧是，篱笆最短。此时z的长度约为0.576公里，总篱笆长度是1.623公里！计算方法较为繁琐，恕从略（其实大老李也不会）。

下周再见！

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