23. 本命题没有证明--哥德尔不完备定理证明思路简介

(文末有“每周一题”及上周答案)

 大家好，我是大老李。前不久我们聊到了连续统问题，让我想到了哥德尔著名的两个不完备定理。很多人知道哥德尔的这个不完备定理，但我觉得你可能并不了解哥德尔不完备定理是如何证明的，所以我今天准备给大家简单聊聊他的证明思路。

      但讲之前，我还是不得不赘述下哥德尔的这个定理，其实准确来说，哥德尔不完备定理是两条。其中的第一条是说，任何一个足够复杂的公理系统，如果它是相容的，那么这个公理系统内部就一定存在不能被证明的命题。相容的意思就是它内部不能从公理推出互相矛盾的结论。这大概就是哥德尔的两条不完备定理中，比较为人熟知的一个。这里说的足够复杂的公理系统，其实要求并不高，简单来说只要求能定义自然数和进行加法乘法就可以了，等下你也能看到如此要求的原因。

    哥德尔还有一个不太著名的第二不完备定理。这个定理是说任何一个足够复杂的公理系统，它都不能证明自己是相容的，也就是它不能证明自己是不会推导出互相矛盾的命题的。你觉得这是不是很有点让人郁闷的结论。而它的一个等价形式读出来就更令人有恐惧感：就是如果一个足够复杂的，而且足够强大的公理系统能证明自己是相容的，则它一定是不相容的。这句话听上去很拗口，不过你可以慢慢体会下。

本周问题：

这周换个简单点的逻辑题：

桌上有5枚看上去一模一样的硬币，其中一枚是假币。假币的重量与真币不同，可能重，也可能比真币轻。你口袋里另外有一枚真币。现在请你用一个两托盘天平，只称两次，你可以把假币找出来吗？

上周答案：

上周问题是：

本周题目是一道几何题，请问如下的三角形里，可以放入的最大的矩形面积有多大？

正确答案是18，恭喜“再见卡农”和“Magician”答对。

本题可以先从一般的三角形开始考虑，我们可以证明，对一般的三角形，其内部最大的内接矩形，面积为三角形大小的一半。

考虑如下三角形，边长a<=b<=c。取两条较短边的中点向最长边作垂线，再连接这两个中点可得一个矩形。然后从矩形两顶点，向相对长边的中点，作两条虚线。如果你假想这个三角形是画在纸上，然后沿这两条虚线折叠，你会发现三角形能完全遮盖矩形，且三角形自身也被全部覆盖。如果是任何其他矩形，用同样方法折叠后，你会发现三角形不但可以覆盖整个矩形，三角形自身会产生重叠，或者有部分没有被覆盖，或者两者都有。这显示整个矩形不是最大的。

而这个最大的矩形显然是三角形面积一半。已知三角形边长，可以用海伦公式求解面积，得原三角形面积为36，所以内部最大矩形面积为18。

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