26. “随机”数中错误假设--从“本福特定律”到“双信封悖论”

26. “随机”数中错误假设--从“本福特定律”到“双信封悖论”

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(文末有“每周一题”和上期答案)

一个叫弗兰克.本福特的物理学家在1938年发现身边的很多随处可见的一批数字的分布是有规律的,比如我们看看当初本福特在其发表的文章中举过的例子:335条河流的长度或区域的面积,这个区域猜想可大到国家,小到一个学校这种;3259条人口数据,这里也没有尺度,不过既然多达3000多条,那肯定也是有国家有城市有乡村不同大小区域的人口数据;104个物理数学常量,100份报纸上出现的数字等等等等。现在问你,以上这些不同类别的数字,尽管单位各不相同,我现在问你,只看数字,以1开头的数字比例有多少,以9开头的又有多少?可能你的第一感就是这两者应该都一样的,应该都是1/9,也就是11%左右。但是本福特发现,这些数字中是1开头的数字特别多,达到30%,然后逐步减少,到9开头的数字特别少,大概只有4.5%了,这是不是有点意外?而这个数字分布规律后来就被称为本福特定律。

本福特定律分布公式,10进制中以D开头的数字概率为:


计算结果为:



每周一题:幸运转盘转到多少停下来?(附上周答案)

本周题目:幸运转盘转到多少停下来?

(来源:fivethirtyeight.com)

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你在参加一个电视游戏节目,节目中有一次摇大奖机会,但你要与另两名参与者竞争!游戏规则如下:有一个大转盘,转盘上有20格,每一格标注有5,10,15…,100。每人可以转动一次或两次转盘,你的目标是两次旋转后,转盘停止时(转盘会停在一个随机位置,每个位置机会均等),两个数字相加值尽可能接近100,但是一旦大于100则立即出局(最后若有玩家相等,则再转一次,数字高者胜)。最接近但不超过100的玩家可获得大奖!

你现在抽签后是第一个转动转盘,请问你在第一次转动后,当转盘数字大于多少时,应该放弃第二次转动?假设后面的两个玩家都会采用最佳策略,且他们能看到之前的玩家的数字结果。


上期答案:

上周题目是:

你正在跟一个女孩约会,你想给她买一部手机作为礼物。你挑选了一部手机型号,不过你不知道女孩最喜欢哪种颜色的手机。手机可选颜色分别是红,黄,蓝,绿。但女孩并不想直接告诉你她喜欢的颜色,而是要考验你一下。女孩已经将四种颜色从最喜欢到最不喜欢在心里排好序。她允许你每次将任一个颜色序列向她询问,然后她会回答里面有几种颜色正好是她心目中的位置。比如,女孩心中的颜色序列是:红,黄,蓝,绿。如果你问:“蓝绿黄红”,则女孩回答“0”,你若问:“红绿蓝黄”,则女孩回答“2”。

请问,在最不走运的情况下,你至少需要问几次,可以完全确定女孩心中的颜色偏好排列?注:为明确起见,需要一直问到女孩回答“4”算结束,尽管实际上最后一次你可能是已经确定排列顺序了。


有读者回答24次,这是四种颜色全排列数量,那就太多了,女孩可能会觉得你太笨:)。正确答案是5次!比如,你一开始把颜色排成ABCD:

女孩回答0,则你交换AB,询问BACD

女孩回答0, 则知道AB不可能是第1第2,则询问CDBA

女孩回答2,则交换CD,询问DCBA

女孩回答0,   则CD, AB分别交换,询问CDAB。(根据规则,必须再询问一次,虽然你知道这肯定是正确答案)

女孩肯定回答4!

看这个分支图就可以应对所有情况了:

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恭喜Magician答对了,下周再见!

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用户评论
  • 星羽枫

    原样我听喜马拉雅第一个节目

  • 马可思维

    让我想起了电阻电容常用标称值的序列,和商场超市里的价签的规律

    大老李聊数学 回复 @马可思维: 对,标价签符合这个规律。电阻电容序列我就不太确定了,不过也许是因为数字小的可以容易构成大的电阻电容。

  • 再见卡农_v2

    结果反推原因,这个想法可能不一定正确,这是我们认识世界时一个最朴素的想法——因果论。但是因果论处处可用这个想法现在看来,已经不太科学了。

    大老李聊数学 回复 @再见卡农_v2: 嗯,对很多随机现象我们现在只有根据结果反推,这种反推很可能是生搬硬套,所以我节目里也用了很多“可能”。

  • Ganker相偲荿茧

    李永乐有证明过李永乐有证明过

    大老李聊数学 回复 @Ganker相偲荿茧: 有讲过,我知道。但不能说证明过。

  • ouyexer

    加油

  • 拈花微笑步红尘

    高手

  • i岽老林

    科普

  • 三世倾心

    打卡。

  • 炸洋芋1

    atm机数字键盘的数字磨损度😄

  • JESTER

    老师:我几乎就给了你满分