【数学】偶数多还是整数多？有趣的数论

粉丝福利 

严伯钧的硬派科普秀交流群来啦，跟着严老师一起聊聊科普、了解物理界新动向、第一时间get严老师的活动消息，还有不定期的社群活动福利哦。

入群方式

微信添加yan_bojun，并回复：科普秀，我们将会邀请你入群。

欢迎每一位在听《严伯钧的硬派科普秀》的你的到来。

精华笔记

数论可以说是数学中最没有用的分支，同时也是最难的。

一、质数
1. 数论是研究数的性质和规律的数学分支。我们定义了很多不同种类的数，比如有整数、奇数、偶数、负数、有理数、实数等；

2. 其中质数和合数是非常重要的概念，尤其是质数。质数是指那些只能被自己和1整除的整数，它是最基本的整数，因为它不能被拆解，不能写成其它整数乘积的形式；

3. 关于质数的研究有非常多，著名的黎曼猜想、孪生素数问题和哥德巴赫猜想，都是数论的研究范畴。哥德巴赫猜想还被认为是数学桂冠上的明珠；

二、有理数与无理数
4. 质数属于整数的范畴。除此之外，还有其他类型的数，比如有理数和无理数。其中有理数被定义为两个整数的比；

5. 无理数就没有这么简单了。根据勾股定理，如果一个等腰直角三角形的直角边长度是1，那么斜边的长度就是根号2。证明根号2不是有理数用的是反证法：先假设根号2是个有理数，它就可以写成两个整数之比的形式，比如p/q。但是这样推下去会出现矛盾的结论，于是就证明了根号2不是一个有理数；

6. 但是很显然根号2也不是整数，所以它就被定义为无理数。这样一来，数轴就被扩充了，整条数轴可以被实数填满；

三、无穷大
7. 之前讨论的数都是有限的，还有一种数叫无穷大。比如实数的个数是无限大的，整数的个数也是无限大的。无穷大有很多有趣的性质，比如无穷大之间如何比较大小？你会感觉数轴上实数的个数比有理数多，因为有理数不能把数轴填满，而实数可以。康托尔最早给出了无穷大之间如何比较大小的方法，就是一一对应。对于两个有无穷多个数的集合，如果可以找出元素之间一一对应的关系，这两个集合里的元素个数，就可以被认为是一样多的；

8. 这样就会出现非常有趣的结论，比如整数和偶数是一样多的。尽管整数包含了偶数和奇数，但在整数和偶数之间却存在一个2倍的关系，并且这种关系是一一对应的。但是在有理数和无理数之间就找不到一一对应的关系，而且实数包含有理数，所以实数个数的无穷大比有理数的无穷大要大；

9. 数论目前看来毫无用处，但是未来对计算机算法的研究会有很大的帮助。