【数学】初中几何都白学了，微分几何与拓扑学

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精华笔记

平面几何和立体几何已经被解析几何取代了，但几何学并没有退出历史舞台，又拓展出了微分几何和拓扑学。

一、曲面上的几何
1. 解析几何可以用分析和代数的方法，摆脱画图和做辅助线，解决所有平面几何和立体几何的问题；

2. 于是就诞生了研究曲面的几何学——微分几何，黎曼几何就是微分几何的一种特殊情况。曲面上的几何规律和平面几何有天壤之别。例如，曲面上的平行线并不是不相交的，地球的两条经线是平行的，但是会在两极相交；

3. 要明确的是，并不是说微分几何的研究对象是一个曲面，曲面同样可以在直角坐标系里进行研究。因为直角坐标系的坐标轴都是平的，一个曲面完全可以用这样的坐标系来表示；

二、黎曼几何与相对论
4. 微分几何在广义相对论里是基石性的数学工具。相对论所用的黎曼几何，研究的是弯曲的坐标系，坐标轴都是曲线，这样就会出现很多非同寻常的性质。在广义相对论中，所有的物理量都是建立在曲线坐标系上的；

5. 地球表面的经纬线，就是一个球面的坐标系。经线、纬线都是曲线，但是在每个局部，经、纬线还是相互垂直的。也就是说，每个局部都是平面直角坐标系；

6. 在平面直接坐标系中，两个点的距离就可以用勾股定理来计算。但是在曲面上，两点间的距离是一条弧线，所以不是用简单的勾股定理计算，而是坐标当中要乘以一个系数。这个系数其实是一个矩阵，可以被认为是曲率。广义相对论里的物理量都跟这个曲率有关；

三、拓扑学和量子计算
7. 几何性质再上一个层次就是拓扑学。比如一个球和正方体在拓扑学上是同样的物体，一个咖啡杯和一个甜甜圈也一样，因为都只有一个洞。拓扑学不关心物体的具体形状，只关心最本质的连接方式。拓扑性质是比几何形状更高级、更形而上的性质；

8. 拓扑学在物理学当中的应用之一，就是量子计算机。量子计算机对干扰十分敏感，而拓扑材料有很强的抗干扰性。因为只要连接方式不变，即使拓扑材料的形状受到一定的干扰而产生了改变，其拓扑性质也没有发生变化；

9. 比如在量子霍尔效应中，给一块金属板加强磁场，就会产生一个横向的电阻。这个电阻跟金属板的具体形状没有关系，只跟磁场大小等外部性质有关。