【数学】上帝创造的公式长什么样?复变函数和欧拉公式
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精华笔记

数学中复数的发明产生了复变函数的新研究领域,给人类解决实际问题提供了很多新方法和新思路。

一、复数和复变函数
1. 复数包含实部和虚部,复数的发明把数字从一根数轴扩展到了一个平面。横轴是实数部分,纵轴是虚数部分,每个复数都是复平面上的一个点;


2. 实变函数中的变量都是实数,可以认为是表示二维的函数,而复变函数是表示三维的。复变函数就是研究和分析复数变化的学科;



| 复变函数可以表示更高的维度


二、极坐标系
3. 一个二维平面可以有不同的坐标系,最常用的是用x轴和y轴代表的平面直角坐标系;


4. 除了直角坐标系,复数还可以用极坐标来表达,于是就有了著名的欧拉公式;



| 极坐标下的复数


三、欧拉公式和解析延拓


5. 欧拉公式是:e^iπ+1=0。自然界中几个看似不相关的最基本的数字,居然可以被整合到一个简单的公式中;



| 欧拉公式的证明


6. 有了这个工具,一种叫解析延拓的技巧被发明了出来,很多原来在实数里解决不了的问题就可以拓展到虚数范围内解决;


7. 利用解析延拓可以得出一些很神奇的结论,比如:所有自然数的和等于-1/12。

37条评论
  • 心之水滴_ot

    害,终于知道欧拉公式怎么推导的了,看起来挺简单的嘛。
    回复
    2020-07-05 13:55

    严伯钧 回复 @心之水滴_ot: 知道泰勒展开就不难了。

  • 紫灵X9460号米小圈

    严老师,无理数有无限个吗?是不是所有的质数的开方都是无理数?除了圆周率,还有哪些著名的无理数?
    回复
    2020-11-21 01:30

    严伯钧 回复 @紫灵X9460号米小圈: 自然常数e。无理数从定义上看就能知道有无限个。自然数只要开不尽都是无理数。

  • heat_wt

    二十多年过去,当年的数学忘的差不多了
    回复
    2020-02-12 00:22

    严伯钧 回复 @heat_wt: 只要学过捡起来就很容易

  • Wow_

    数学太较真儿了,还是更喜欢物理
    回复
    2020-07-04 20:57

    严伯钧 回复 @Wow_: 对,数学那个思维方式我是不太习惯。

  • 什么bug陈阳

    坐等严老师给推荐复变函数的书(๑•॒̀ ູ॒•́๑)啦啦啦
    回复
    2020-01-09 00:14

    严伯钧 回复 @什么bug陈阳: 复变函数的书,其实任何一本大学教材都可以

  • 听友197469156

    计算机专业学好什么数学分支有利于发展,离散数学吗
    回复
    2020-03-04 08:54

    严伯钧 回复 @听友197469156: 我感觉应该反过来吧,离散数学学好有助于学习计算机,毕竟数学是计算机的基础。你这么说可能也有道理。

  • Valentino46

    数学篇一点也听不懂勒,天书啊
    回复
    2020-02-14 13:06

    严伯钧 回复 @Valentino46: 能坚持下来的都是真爱。

  • 机智的弦凝

    高中是理科的,然而看到这个好像全还给老师了
    回复
    2020-01-08 15:04

    严伯钧 回复 @机智的弦凝: 知识仍然在脑子里,只是目前缺乏有效的路径检索出来。

  • 人之初900

    外行如同听天书
    回复
    2020-01-07 11:42

    严伯钧 回复 @人之初900: 理工背景的会比较熟。

  • 天真无鞋_ti

    新添一枚初三迷弟
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    2020-01-27 23:38

    严伯钧 回复 @天真无鞋_ti: 哈哈 中考加油多做题。