【数学】上帝创造的公式长什么样？复变函数和欧拉公式

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精华笔记

数学中复数的发明产生了复变函数的新研究领域，给人类解决实际问题提供了很多新方法和新思路。

一、复数和复变函数
1. 复数包含实部和虚部，复数的发明把数字从一根数轴扩展到了一个平面。横轴是实数部分，纵轴是虚数部分，每个复数都是复平面上的一个点；

2. 实变函数中的变量都是实数，可以认为是表示二维的函数，而复变函数是表示三维的。复变函数就是研究和分析复数变化的学科；

| 复变函数可以表示更高的维度

二、极坐标系
3. 一个二维平面可以有不同的坐标系，最常用的是用x轴和y轴代表的平面直角坐标系；

4. 除了直角坐标系，复数还可以用极坐标来表达，于是就有了著名的欧拉公式；

| 极坐标下的复数

三、欧拉公式和解析延拓

5. 欧拉公式是：e^iπ+1=0。自然界中几个看似不相关的最基本的数字，居然可以被整合到一个简单的公式中；

| 欧拉公式的证明

6. 有了这个工具，一种叫解析延拓的技巧被发明了出来，很多原来在实数里解决不了的问题就可以拓展到虚数范围内解决；

7. 利用解析延拓可以得出一些很神奇的结论，比如：所有自然数的和等于-1/12。