数学丨13 为什么有些建筑看上去很美？

上节课，我们讲解了两个重要的数学思想——连续和离散，这节课，我们来聊聊，审美与数学有什么关系。

引入

在遥远的爱琴海边，古老的雅典卫城的最高点上，矗立着一座神圣、雄伟的帕特农神庙。考古学家通过测量发现，它的长宽比接近0.618。

在优雅的舞台上，芭蕾舞演员踮起脚尖，翩翩起舞，把身体的姿态之美，表现到了极致。舞蹈家们发现，这样跳舞，腿的长度与身高的比例恰好也是0.618。

在清晨的公园中，一位老爷爷拉起了二胡，路过的行人纷纷被和谐的乐声吸引。音乐家们发现，只有分弦比例符合0.618:1时，乐声才最悦耳。

这是巧合吗？如果我们更加广泛地搜索信息，就会发现，几乎所有的“美”之中，都藏着相同的数字——0.618。

这个数字就像是一个通用的密码，帮助我们破解各种自然和人类的奥秘。它同时也像黄金一样耀眼、珍贵，所以我们称之为“黄金分割率”。

帕特农神庙

根据史书记载，帕特农神庙修建于公元前447年，修建过程持续了15年。神庙内供奉的是雅典娜女神，当然了，帕特农也就是雅典娜的别名。据说当时，神庙内有一尊全身镶着黄金和象牙的，高达12米的雅典娜女神像。

可惜的是，在16世纪与土耳其人的战争中，神庙遭到严重的损害。19世纪的世界大战，又被英国洗劫一空。所以，现在我们能看到的，只剩下遗址了。不过即使这样，当你走近这座神庙，你也依然能感受到它的庄严，神圣。

帕特农神庙，可以说是当时世界上最宏伟壮观的建筑之一。可以与之相提并论的，估计也只有埃及的金字塔了。那么问题来了，如果你是当时的设计师，让你设计一座这样的神庙，你会设计成什么样子呢？圆形？正方形？还是也跟它现在一样，是长方形？

黄金分割比

据测量，帕特农神庙的长宽比大约为1：0.61。非常接近黄金分割比0.618。古希腊哲学家认为，黄金分割比是最符合人类审美的比例。不信，你自己随便画一个觉得好看的长方形，然后量一量，长宽比是不是也接近这个比例。当然了，这里的0.618只是一个近似值，一会儿，我会带大家算一算，它具体是多少。

在此之前，还有一个问题，为什么这个比例看上去很好看呢？事实上，长宽比满足黄金分割的长方形，如果你从中切下一块，以它的宽为边长的正方形，那么剩下的一个小长方形，长宽比依然满足黄金分割比。并且，这样的切分，可以一直继续下去。就像下面这个图一样。图中所有的长方形都是黄金分割长方形。用几何学的话说，它们彼此都是相似的。

知道了这些，我们就可以着手来算一算，黄金分割比具体是多少了。

根据大长方形和小长方形的相似关系。我们假设大长方形的宽为1，长为1+x，那么长宽比就是（1+x）：1。截去一个正方形之后，小长方形的长宽比就变成了1：x。于是我们得出算式（1+x）：1=1：x。整理得到x²+x-1=0。我们解得这个方程的两个根为：

舍去负数根，就得到了：

原来黄金分割的精确数值居然是个无理数。我们刚刚说的0.618，只是一个近似值。

黄金三角形

说完黄金分割率的比例，我再来给大家介绍一个，大家一定都画过，但是不一定注意过的图形——正五角星。

我们知道，正五角星的顶角上是五个三角形，而且它肯定是等腰三角形。不过你可能没有注意到，它的腰跟底边的比，也满足黄金分割率，所以我们把这样的三角形，称为黄金三角形。

这个图形，是大家在初中会经常遇到的一个三角形。它顶角是36°，底角是72°。所以，如果做一条底角的角平分线，我们又会得到一个新的小黄金三角形。这个性质跟刚刚我们说的长方形，非常类似。

同学们想一想，为什么这两个图形都具有这样类似的性质呢？是不是所有满足黄金分割比的图形都有这样的性质呢？这个问题，就当做今天的课后作业，就留给大家自己去思考！

黄金分割比的应用

其实不止是建筑，许多许多的艺术作品中，都有黄金分割比的影子。比如，达芬奇的世界名画《蒙娜丽莎》，米开朗琪罗的《圣家庭与圣约翰》，这些名画如果我们仔细观察，都离不开黄金分割比例。

而且黄金分割率更不仅仅出现在艺术作品或者几何图形中。在我们生活的各个角落，都有它的影子。

它可能与植物的生长有关。如果你观察过植物的叶子，你就会发现，有许多植物的两片相邻的叶子，夹角137°28'。刚好把圆周分成了黄金分割的比例。

据植物学家研究发现，这样植物的通风和采光率都是最高的。它可能与我们的感知有关。我们通常觉得20~25°的气温最舒适。如果你计算一下，不难发现，我们人体的体温是37°乘以0.618刚好是22.9度。

它可能与音乐也有关，通常，歌曲的高潮部分，不会在开头，也不会在结尾，一定在这首歌的中间偏后的部分。

它还可能跟我们的身体构造有关。一个人体重与身高的比例，如果满足黄金分割比。那么这个人看上去就会非常协调。

美妙的黄金分割率无处不在，用数学的眼光来看世界，我们这个世界也会处处充满精彩！

课后练习

好了，总结一下，这节课，我们主要讲解了黄金分割率，在生活中的重要作用。让大家对黄金分割率有一个更加直观的感受。同学们可以观察一下身边，想一想，黄金分割率，还出现在生活中的哪些地方？

下节课，我们讲一个很有意思的问题，兔子家族可以繁殖多快。我们不见不散。