数学丨14 兔子家族可以繁殖多快？

上节课，我们讲解了黄金分割率以及它的实际意义，这节课，我们讲——兔子。

澳洲的兔灾

由于大陆板块的运动，澳大利亚很早就跟欧亚大陆分离开了。又经过了近两亿年的迁移，最终停留在了现在的南半球。正因为如此，澳大利亚的物种具有很高的独特性，尤其是哺乳动物，跟大陆差异很大，袋类动物一统天下。

近代的移民活动开始之前，澳大利亚连一只兔子也没有。而在其他地方，兔子几乎随处可见。最常见的两种兔子分别是：穴兔和野兔，后来穴兔慢慢被驯化，就变成了现在的家兔。

今天的故事，就要从十七世纪说起。在当时，已经有了被驯化的家兔。而野兔似乎没有被大规模的驯化和养殖。不过野兔依然在人们的生活中扮演了重要的作用。

由于奔跑迅速，转向灵活，野兔一直是欧洲王公贵族狩猎活动最喜爱的目标。所以罗马贵族在征伐英伦三岛的过程中，就顺便将野兔也带去了英国。之后，猎兔这项运动，也就一直留在了英国。并发展成了家家户户都爱的全民运动。就好像我们打乒乓球一样。

到了1788年，英国人把第一批囚犯流放到了澳大利亚。船上除了烦人，还有一些家兔。随后的几十年内，澳洲当地的一些农民，也开始饲养家兔以便食用。

其实这个时候，人们已经发现，澳大利亚特别适合养兔子。在欧洲需要防范的黄鼠狼等天敌，在澳大利亚根本不存在。所以一些养殖较好的农场，兔子似乎已经有点多了。

随着澳大利亚的英国殖民者越来越多，有一个十分喜爱狩猎的人叫做托马斯·奥斯汀。这个家伙特别喜欢狩猎，可是澳洲本地没有野兔，其他的动物又没有兔子这么灵活。于是他便托人从英国带了12只家兔和5只野兔。在繁殖了几代之后，他在自己的农场释放了24只野兔，以满足自己的狩猎需求。

他不知道的是，几十年后，兔子将占领整个澳大利亚。由于没有天敌，仅仅六年时间，托马斯的农场已经有上万只兔子，许多兔子更是越墙逃走。更可怕的是，这些兔子繁殖迅速，大肆啃食植物，严重的破坏了当地的生态平衡。澳大利亚的兔灾，正式开始。

据不完全统计，19世纪末，澳大利亚的兔子总数超过了100亿只。比现在全球的人口还要多上许多。这些兔子在100年内横扫了整个澳大利亚，人们这才开始惊慌，于是下令大肆捕杀兔子，可是，在当时的科技水平下，即使最多的一年，才捕杀了200万只兔子，对兔群总数几乎毫无影响。

兔子的繁殖

那么，究竟是什么，让最初的24只兔子，变成后来的100多亿只呢？我们不妨计算一下，一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，假设一对兔子每个月能生出一对小兔子，并且所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月，小兔子没有繁殖能力，所以还是一对。两个月后，生下一对小兔对数，共有两对。三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。我们依次计算接下来的所有的月份，可以做出下表。

从表中可以看出，每个月兔子的总对数，等于前两个月的总和。这当然也很好理解：每个月的兔子数，等于上个月兔子数加上这个月新出生的兔子数。而新出生的兔子数，与上上个月的兔子数是一一对应的。

所以，我们得出了结论，每个月兔子数，是前两个月的总和。这样我们就可以清楚的计算出每个月的兔子总数啦。如果我们把这写数字都写下来：1，1，2，3，5，8，13……就会得到一个数列，由于数学家斐波那契最早发现了这个数列，后来，人们就把它叫做斐波那契数列。这个数列可不仅仅是好看而已，它再数学中可有着巨大的作用！我们一会再说。

通过计算，我们可以知道，按照这样的繁殖模式，第50个月，兔子的总对数就可以达到一百多亿只。澳洲的兔灾也正是因为如此。现在，相信大家对兔子家族可以繁殖多快，已经有了一个比较清晰的认识。

细心的同学可能感觉到了，我们在指数那节课里说过，指数增长又称爆炸增长。那么这里的斐波那契数列，看上去也是先慢后快，十分类似我们之前说的指数增长。那么它是不是指数增长呢？

我们不妨这么看，因为数列中，每一项都是前两项的和，所以这个数列肯定是递增的。也就是说，每一项都会大于前一项。那么如果你只看奇数项，你就会发现，第三项等于第一项加第二项，所以一定比第一项的两倍要大。同理，第五项比第三项的两倍要大，每一个奇数项，都比它前一个奇数项的两倍还要大。

而在指数增长中，后一项仅仅是前一项的两倍。这就表示，如果我们去掉偶数项，单独看奇数项，斐波那契数列的增长速度，一定比2的n次方这样的指数增长还要更快！

当然了，大家以后就会知道，这里的兔子总数，其实也是一个指数增长。同学们可以在我们音频下方的文稿中看到这个公式。

至于这个公式怎么来的，还需要用到高中的数列的知识。

斐波那契数列与黄金分割率

今天我们不去研究推导过程。接下来的时间，我们回到刚刚那个问题：为什么斐波那契数列，在数学中有着重要的作用呢？

大家可以动笔算一算，斐波那契数列中，每一项和后一项的比是多少？比如说，第4项与第5项的比是3：5=0.6，第9项与第10项的比是34：55≈0.618，第11项与第12项的比是89：144≈0.618.说到这里，大家有没有注意到，相邻两个数的比值，竟然非常接近我们上节课说过的黄金分割率！

其实，越往后面，相邻两个斐波那契数的比值就越接近黄金分割率。这仅仅是个巧合吗？其实，我们只要回顾一下上节课的内容，就可以知道这到底是怎么一回事了。

相信大家一定还对上节课的黄金分割率记忆犹新，在上节课中，我们把一个长方形，截去一个正方形，得到一个与原来长方形相似的小长方形。然后再在小长方形中截去一个小正方形……

这个过程，如果反过来看，不就正好是我们的斐波那契数列的运算方式吗？图中，每个正方形的边长，都等于比它小的两个小正方形的边长之和。所以，黄金分割率和斐波那契数列也就有了这样惊人的相似。

斐波那契数列在数学上，为数学建模提供了更多的可能性。同时，它还应用于其他自然科学的分支上。比如说植物学家就发现，许多植物的生长年份，叶子分布，都与斐波那契数列有着千丝万缕的联系。当然，人们目前还无法破解它全部的奥秘，不过或许未来某一天，它神秘的面纱将被摘下，然后在人们面前，绽放出自己最美的一面！

课后练习

好的，总结一下，今天，主要给大家讲解了斐波那契数列的由来和它的增长规律。我们还注意到，它跟黄金分割率还有着千丝万缕的联系。下节课，我们讲一个“神奇的三角形”。我们不见不散！