函数的极值与最值有什么区别?

我觉得想严谨定义什么是极值要用到邻域的概念（周民强是这么定义的，肯定还有别的定义方法），而且极值是否存在是需要证明的（按照周民强的说法最早是费马发现的）。但是想直观看懂极值和最值的区别你看这张图就行。

本图出自周民强版《数学分析》第一册
如图，这个函数的定义域是 [公式] 。

极值是一个局部概念，最值是一个全局概念。

想判断某个点是不是极值点只要看它有没有改变单调性（从增函数变成减函数，从减函数变成增函数）就行了，图中 [公式] 和 [公式] 是函数的极大值点， [公式] 和 [公式] 是函数的极小值点。

要判断某个函数是不是最值点你要看全局，你要看整个函数的值域，图中 [公式] 是函数的最小值点，整个函数没有比f(x)更小的取值了，b是函数的最大值点，整个函数没有比f(x)更大的取值了。

极值点和最值点有可能是重合的，比如sinx和cosx的极值点也是最值点，极（最）小值是-1，极（最）大值是1。

更有可能是不同的。比如上面的图5-4，极大值点是 [公式] 和 [公式] ，最大值点b反而是最值点。b点处函数增减性没有发生改变，但这个函数没有比f(b)更大的取值了。

最值和极值是两个完全不同的概念，极值是在某一区间内内，只要在区间内存在某一点附近的单调性不同，就是极值。最值，是给定范围内最高点和最低点。极值可能是最值，但是最值不一定是极值。顺便告诉你一个很有用的数学结论，开区间的极值点一定是最值点。具体如下：
1、所有的极值，都符合dy/dx=0，也就是 y ‘ = 0；
2、极大值、极小值，有可能就是最大值、最小值，如 y = sinx，y = cos2x。
3、极大值、极小值，不一定是最大值、最小值。例如：y = x³ - x (-5 ≤ x ≤ 5)。 极大值在 x=-1 跟 x=0 之间，极小值在 x=0 跟 x=1 之间。 而最小值在 x=-5 处，Y最小= -120；最大值在 x=5 处，Y最大=120
4、最大值、最小值处，可能有dy/dx=0，可能dy/dx≠0；极大值、极小值处，一点有dy/dx=0
5、 极大值、极小值，是由函数图像决定的；
6、最大值、最小值，可能是由函数图像决定，也可能是由我们给定的区间决定。
拓展资料：

极值点是比其邻域的点都大或都小的点,只能在驻点（导数值为0）或不可导点取得.在定义域内可以有多个极值点.
最值是在定义域内最大或最小的点.最多只有一个最大值点和一个最小值点.
最值一定是在端点和极值点取得.

关于极值的精确定义，大致有两处是可以存在争执的。这里，将以下极小值的定义作为标准格式，函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 的 [公式] ，有 [公式] 。现在，我们可以说：

首先，若 [公式] 的定义域存在端点 [公式] ，则上述定义使得 [公式] 永远不可能在 [公式] 点处取到极值。这样，我们考虑函数 [公式] 在整个定义域上的最值时，就必须说 [公式] 的最值可能在极值点或端点处取得；因此，一些人认为可以将“对于所有满足 [公式] 的 [公式] ”替换为“对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ”，这样，对于 [公式] 定义域的某个端点 [公式] ，只要 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 的某个邻域上“ [公式] 有定义的点”中的最小值，就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值，比如考虑区间 [公式] 上的函数 [公式] ，依照这个定义就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值。这么说的好处在于函数的最值永远是极值，但是缺陷在于不能直接说可微函数的极值总在驻点处取得了——现在只有在定义域是 [公式] 上的开集时，这个定理才成立。
其次，原始定义不令人满意的地方还有它将常数函数每一点都当作极值处理了。为了避免这样的处理，一些人建议将极值的定义条件改为在去心邻域上满足严格序关系，也就是说将“ [公式] ”这部分替换为“若 [公式] ，则 [公式] ”，也就是题主所说的不取等号的定义。当然，这么改也是有争议的，因为比如考虑常数函数，一般我们还是接受常数函数在每一点都取到最值的，因此如果接受上述更为严格的极值定义，就会出现在函数在既不是极值也不是端点的点取到最值的特殊情况，而那些处理最值和极值的定理就会出现一些额外的特例。同时，还会有其他更为特殊的函数，比如 [公式] 这样在 [公式] 一侧取值为常数而另一侧不是的，那么它是否在 [公式] 处取到极值依然是一个值得商榷的问题。
这样来说，基于对于问题1和问题2的不同选择，能够写出一共四种不同的极限定义，这四种中很难说哪种是绝对的主流，因而在教材中看到哪种都不应该奇怪。

依我个人的喜好，其实最倾向于最为宽松的定义方式，也就是说在问题1中选择修改，在问题2中选择不修改，也就是函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ，有 [公式] 。这样选择的原因在于考虑了对于更为普遍的情况，即对从任意拓扑空间到任意全序集的函数定义极值的情况。考虑函数 [公式] ，其中 [公式] 是拓扑空间， [公式] 是全序集，那么我们可以定义 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 的开邻域 [公式] 满足对于所有 [公式] ，有 [公式] 。这里无法区分 [公式] 在与不在端点的情况，因为拓扑空间本身就无法区分这一点：考虑区间 [公式] 作为 [公式] 的子拓扑空间，则 [公式] 在该拓扑空间中同样有形如 [公式] 的开邻域，尽管 [公式] 在母空间总并非开集，但单纯对于子空间 [公式] 来说它也是和 [公式] 一样的开区间。

另外，拒绝问题2中的修改的原因在于，若应用在更一般的空间中，比如考虑从 [公式] 到 [公式] 的集合，那么严格序关系的要求就显得过于苛刻了。比如说，考虑多元函数 [公式] ，它在 [公式] 轴正方向上取常数 [公式] ，但在其他方向的截面上 [公式] 都是函数的极小值点。如果使用去心邻域上的严格序关系定义，因为 [公式] 任何一个去心邻域一定包括 [公式] 轴正方向的一段，则点 [公式] 无法被称为 [公式] 的一个极小值点。这样仅仅因为 [公式] 轴正方向的缘故将 [公式] 从定义中排除，难免显得有点过分咬文嚼字。

当然，若是单纯考虑实函数的情景，则两个问题上的各自两种选择都算是各有好坏，所以难免看到选择其中任意一种定义的教材/文本。在这样的情况中，只要选择依照给定的定义为准，如上文对定义之间区别所说的那样对自己平时认知中的极值额外排除/包括一些特例，就可以正常地使用文本中的定义去理解后续的内容的。

区别非常大。它们没有关联。
极值，是函数性质；是函数在部分区间上的最大值或最小值；是函数值域里的数。函数可能多个自变量取得同一个极值。
极限，是一种运算；是当自变量无限趋于某一个数x0时，函数无限趋于一个确定值。这个确定值可能不是函数值域的数。换言之，函数可能在x0无意义。
例如，f(x)=(x^3-1)/(x-1),
x→1limf(x)=lim(x²+x+1)=3,极限是3.
化简f(x)= x²+x+1，x≠1，有f(x)≠3。又x²+x+1=(x+1/2)²+3/4≥3/4，
函数值域是[3/4，3）∪（3，+∞）。
可见3不是值域的数。
易知f(x)极小值=3/4，它是值域的数
也就是说是x趋近于无穷大或0时函数值无限接近的那个值。如y=1/x，x→﹢∞时，函数极限就是0。

极值是指f（x0）比x0附近的函数值大或者小，极值可能是最值，也可能不是。极大值也可能比极小值还小。