科普｜《心中有数：生活中的数学思维》：用理性思维看世界，给生活更好的解法

用理性思维看世界，给生活更好的解法。

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精华笔记 

一、生活中的概率问题

世界上很多事情都是随机事件，研究随机事件的数学理论叫做“概率论”。首先，在做一件事之前，正视它的随机性，分析成功的概率；其次要有改变概率的意识和措施，事件的概率可以通过条件来改变。

轮盘赌是一种常见的赌博形式，将一个圆盘均匀地分成38个扇形，再将0～37这38个数字打乱，随意地写到每一个扇形中。参与赌博的人先要花1元钱去选购一张彩票，如果命中的轮盘上的数字，奖金是36元。 

当试验次数趋向于无穷大时，频率就会趋向概率，这被称作大数定律。只要人们一直赌下去，那么中奖频率会在千分之26.3左右波动。平均来说一个参赌者赌了38盘会赢一盘，得到36元，输掉2元，这两块钱就被庄家赚走了。胜算太高庄家挣不了钱，胜算太低会挫伤赌徒的积极性。一般来说庄家在做赌博设计的时候会使自己必赢的金额定在5%-10%。

美国通用汽车公司收到用户的一个投诉，说他买香草冰淇淋的时候，车就不能启动，但是买其他口味的冰淇淋，汽车都能很好地启动。无独有偶，一次在伦敦的调查发现，如果出租车司机穿皮夹克那么城市车祸的发生率就会增加。

原来，买香草冰淇淋的时间比买其他冰淇淋的时间要短。这辆车熄火到再次启动需要一个冷却过程，时间过短，就点不上火。而伦敦的驾驶员习惯在潮湿天气穿皮夹克，潮湿天路面滑，交通事故也就增加了。

驾驶员穿皮夹克和交通事故增加是两个独立事件。尽管是两个独立事件，它们之间不存在因果关系，但是一个不争的事实是它们常常同时发生，概率论用“相关”关系来描述两个相互之间有影响的事件。

结果不但受到原因的影响，而且受到信念的影响，A是通过B才产生C的，这就是ABC理论。相同的原因，不同的信念会导致不同的结果，而且这个信念是独立于原因与结果的。

二、 “折中”的数学知识

如果已知一个公司历年的利润，如何预测未来的效益呢？用多项式来拟合公司的利润增长，尽管能完全符合过去，但是对未来的预测存在巨大的偏差。而最小二乘法可以做出有效推测。最小二乘法不拘泥于经过点，而在乎总误差最小，体现了孔夫子“执其两端用其中”的思想。最小二乘法是大数学家高斯第一个提出并采用的。高斯利用皮亚齐的数据，应用最小二乘法估计了谷神星运行的椭圆方程。

最小二乘法可以与概率结合，估算出一个置信区间。最小二乘法还可以与递推算法结合，不用再从原始数据出发，根据新的数据就可以得到新的公式。

三、将复杂变成简单的数学方法

数学上将复杂变成简单的方法是分解。智能手环里安装了一个加速度传感器，它能够检测手臂运动过程的速度变化，然后将检测到的信号存储起来。而傅里叶分解能将一个函数分解成一些正弦函数的叠加，我们只要统计与人们行走相似的那个正弦波的个数就能获得走的步数了。

一件复杂的事可以分解成几件小一点的事，造几个设备分别来处理这几件事。这方面的典型例子是计算芯片。计算机最核心的是CPU，它负责计算机的一切计算；另一个是GPU，管计算机显示。它们各司其职，互不干扰保持高度的执行力。

美国哥伦比亚大学的菲利普斯教授做过一项研究，她设计了一个系列谋杀案，然后组织了三个破案小组，请他们解开案件之谜。结果是各有所长的陌生人组成的团队能够取得最好的效果。

平面上两条直线相交，得到一个交点，如果将其中一条直线平行移动，那么这个交点也会改变。当两条直线夹角越小的时候，交点移动的距离越大，因此当两条直线垂直时，交点移动最小。对一个事件，各人从各自熟悉的角度进行观测与分析，这相当于用自己的方式画了一条直线，事情的真相就是这些直线的交点，就是认识论中的“共识”。即使某人观测与分析稍微有点偏差，但总有接近真相的部分，那么总体结论与事实也不会差得太远。这就意味着这些直线的夹角越大越好，或者说参与者的观点要多样化。

四、系统科学在生活中的应用

解决任何问题都需要有一个底线，底线思维是系统论的一个出发点。系统论强调要从整体看问题，要抓住关键。比如，设计电饭煲的要点就是检测锅里的水基本烧干然后改成小火焖，底线是找到一种方法检测锅里的水是否基本干了。很多人做过尝试利用重量或时间来判断水是否烧干，但是由于米和水的重量的不确定性而无法奏效。于是“底线”又加了一条备注：用重量和时间估计水是否涨干的方法无效。

软磁铁材料在103℃会失去磁性，而在正常的气压下，只要有水的存在，米饭的温度不会超过100℃。于是从软磁铁出发的设计成就了电饭煲的“底线思维”，通过简单的电路设计就可以让电饭煲在水涨干的节点停止高温加热。

工程设计一般遵循这样的理念，先确定方案将东西做出来，然后再逐步优化改进。先将东西做出来是硬道理，是落实“底线思维”。

控制论是麻省理工学院的维纳教授在二战后提出的，他指出世界上的绝大多数控制不是根据控制目标，而是依据现实与目标之间的偏差进行的，这是“负反馈”原理。

大多数的控制行为是依据目标与现实之间的偏差进行的，偏差不断地得到检测，控制依赖偏差，它的目的是使得偏差不断缩小，最终达到目标。应用负反馈原理的控制系统称为闭环系统，闭环系统起码有三个组成部分：对象、检测设备和控制器，负反馈的目的在于维持一种稳定的运行。

除了负反馈，还有正反馈，正反馈利用的不是偏差，它是利用现有条件而不断攀升的过程。原子弹的裂变反应就是一种正反馈，良好的经济状态也是一种正反馈。不过正反馈最终会导致崩溃，就像核爆炸，因此一定要将它限制在一点适当的“度”中。例如在经济发展的各个阶段不断地修正政策，就是对正反馈的一种调剂。

信息论的创始人是美国贝尔实验室的香农，他研究了信息传递过程，他认为，信息都是在发射端变换成一种信号进行传送，在接收端完成信息恢复。在这个意义上变换是信息论研究的基本对象。

变换已经深入到人们日常生活中。例如三伏天需要晒霉，现在很多家庭将干货放在微波炉里加热一下，只要温度调节适当，几分钟就可以了。生虫的红豆、绿豆放进冰箱一周，再取出来，虫子全死了。这些简单的技巧本质都是变换。一种方法不行了，换一种方式试试，果然“柳暗花明”。经济发展也需要“变换”。将铁路集装箱用于海运是一种变换，用高压电输送电力也是一种变换。 

书名：《心中有数：生活中的数学思维》

作者： 刘雪峰

撰稿人：韩正之（上海交通大学教授、博士生导师、研究生院原常务副院长）

编辑：阿柑

主播：路琨

制作：匀绮工作室

监制＆运营：赵雅楠

总编辑：左宓