【数学】数学家的“铁饭碗”，哥德尔不完备定理

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精华笔记 

哥德尔不完备定理指出了数学研究的极限。

一、数学证明
1. 数学的终极目标是用演绎法构造一套完备的理论体系，把所有关于数学的规律，如公式、定理等，都从归纳性的公理出发，通过逻辑推理推导出来；

2. 公理是不证自明的基本假设，只能被证伪，不能通过逻辑和演绎法证明；

3. 一个封闭的理论体系，里面的理论必须完全自恰，且每一个定理、结论都可以由它内部的公理推导出来。数学家希望这个体系中的公理数量是有限的，并且通过这些给定的公理，可以推出领域范围内的所有结论；

二、哥德尔不完备定理
4. 哥德尔不完备定理打破了数学家们的幻想，它告诉我们不存在一个完全自恰的数学体系。也就是说，并不是所有正确的结论都可以用有限的公理加上演绎法推导出来。比如哥德巴赫猜想，目前还没有被证伪，但是很有可能，这个猜想根本就无法证明；

哥德尔（1906-1978）

5. 不是我们的能力不够，而是人类的思维方式和基本逻辑让我们不具备证明某些问题的可能性；

6. 哥德尔不完备定理意味着，可能存在这样的理论体系，把体系中所有正确的结论放在一块，会让这个体系破溃。也就是全部为真的陈述放在一起反而是自相矛盾的。比如，一个火星人说：“所有火星人都在撒谎。”如果这句话是对的，说明这个火星人在撒谎，而这恰恰又证明了这句话是谎话，也就意味着并非所有的火星人都在撒谎，我们就无法判断这句话是真是假；

三、不完备定理的简单证明
7. 哥德尔对不完备定理有一个简单的证明，他发明了一套数字体系：首先把所有的公理都用一个素数代表，它们构成了一个集合。任何命题如果是一个真命题，就用一个能够被素数整除的合数来代表；

8. 哥德尔的数学体系里有这样一个命题，其内容是：本命题不能被这个集合里的公理证明。如果这个命题是假命题，就说明这个命题是可以被证明的，它对应的数字应该是一个合数，可以被集合里的公理所代表的数字整除。既然这个命题可以被证明，就说明这个命题是对的，于是就得出了跟假设自相矛盾的结论。这样一来，我们别无选择，只能一开始就假设这个命题是真的，整个系统才能自洽。于是根据这个命题的内容，它本身就是一个公理，它对应的数字应该是一个素数，所以这个公理也被归纳到了公理的集合里；

9. 上述过程很明显可以继续进行，再来一个类似的命题对应不同的素数，这个包含不同公理的集合就可以被无限扩大。也就是说，不存在有限的公理，能把所有真命题都推导出来。的确存在一些真命题，是无法被证明的，因为我们的公理永远是有限的。