1.3、最简单概率论的五个智慧

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课程原文：

这篇文章的标题叫做“最简单概率论的五个智慧”。人人都应该学点概率知识。在日常生活中，概率论比万有引力公式还要重要的多得多。它是现代社会公民的必备知识。现在的世界比过去复杂得多，其中有大量的不确定性。是否理解概率，直接决定了一个人的“开化”程度。当不懂概率的人大惊小怪的时候，而懂概率的人则可以淡定自若。

大多数人在中学就学过概率，但掌握概率的计算方法并不等于就真正的理解它。实际上，概率论中的几个关键思想，是多数数学老师没有讲明白，甚至根本就没有讲的。理解这些思想并不需要会做任何的计算，但是它们能让我们看世界的眼光发生根本性的改变。

这些思想的逻辑都很简单，我们可以从最简单的概率论中得到五个智慧。

1.随机
概率论最基础的思想是，有些事情是无缘无故地发生的。
这个思想对我们的世界观具有颠覆性的意义。古人没有这个思想，他们认为一切事情的发生都是有原因的和目的的。人们曾经认为世界像块表一样的精确运行。但真实世界不是钟表，它充满不可控的偶然。

有些事情的发生，跟它之前发生的任何事情，都可以没有因果关系。你不管做什么都不能让它一定发生，或是一定不发生。如果一个人考上了好大学，人们会说这是她努力学习的结果；如果一个人事业成功，人们会说这是他努力工作的结果。可是如果一个人买彩票中了大奖，这又是为什么呢？答案就是没有任何原因，这完全是一个随机事件。总会有人买彩票中奖，而这一期谁中奖，跟他是不是好人，他在之前各期买过多少彩票，他是否关注中奖号码的走势，是没有任何关系的。

如果有一个人总买彩票，他中奖的概率总会比别人大点吧？的确。他一生之中中一次奖的概率比那些只是偶然买一次彩票的人大。但是当他跟上千万个人一起面对一次开奖的时候，他不具有任何优势。他之前所有的努力，对他在这次开奖中的运气没有任何帮助。中奖，既不是他自己努力的结果，也不是“上天”对他有所“垂青”；不中，不等于任何人在跟他作对。这就是“随机”，你没有任何办法左右结果。这很容易理解，对吧？

大多数事情并不是完全的随机事件，却都有一定的随机因素。偶然和必然如果结合在一起，就没那么容易理解了。人们经常错误地理解偶然，总想用必然去解释偶然。体育比赛是最典型的例子。球队赢了球，人人有功，记者帮着分析取胜之道；球队输了球，人人有责，里里外外都要进行反思。但比赛其实是充满偶然的事件，你所能做的只是尽可能地争取胜利。哪怕你准备得再好，总有一些因素是不确定的，也就是我们通常说的运气。我很少听到记者把输球或赢球的原因归结于运气。

实际上，现代职业化竞技体育中参赛者之间的实力差距往往并没有天壤之别，决定比赛结果的偶然因素非常大。强队也能输给弱队，是现代体育的重要特征，也是其魅力所在。如果强队一定胜利，比赛还有什么悬念？从这个意义上说，我们看比赛看的就是这个随机性。所以说偶然因素是不值得较真的，这场输了下场可以赢回来，只要输少赢多你还是强队。

理解随机性，我们就知道有些事情发生就发生了，没有太大可供解读的意义。我们不能从这件事中获得什么教训，不值得较真，甚至根本就不值得采取行动。比如民航客机非常安全，但再完美的交通工具也不可能百分之百的安全。你会因为极小的事故概率而不坐飞机吗？我们只要确定事故概率比其他旅行方式更低就可以了——甚至连这都不需要，我们只要确定这个概率小到我们能够容忍就可以了。为偶然事件大惊小怪，甚至一朝被蛇咬十年怕井绳，是幼稚的表现。

管理者有个常见的思维模式，一旦出了事就必须全体反思，制定相关政策以避免类似事故再次发生，但极小概率事故其实是不值得过度反应的。哪怕是因为员工犯了错而引起的，也没必要如此。2010年有本书叫做《重来》，讲公司创业和管理之道。书中有一个亮点就是它强调不要一看有人犯了错就为此大张旗鼓地制定政策来纠正错误。那样只会把错误变成伤疤，而且会让公司越来越官僚主义。正确的办法是告诉犯错的员工这是一个错误，然后就完了。

偶然的错误不值得深究，成绩也不值得深究，成绩也可能有很大的偶然因素。失败者没必要妄自菲薄，成功者也应该明白自己的成功中是有侥幸的。

2.误差
既然绝大多数事情都同时包含偶然因素和必然因素，我们自然就想排除偶然去发现背后的必然。偶然的失败和成就不值得大惊小怪，我根据必然因素去做判断，这总可以吧？
可以，但是我们必须理解误差。

历史上最早的科学家曾经不承认实验可以有误差，认为所有的测量都必须是精确的，把任何误差都归结于错误。后来人们才慢慢意识到偶然因素永远存在，即使实验条件再精确也无法完全避免随机干扰的影响，所以做科学实验往往要测量多次，用取平均值之类的统计手段去得出结果。

多次测量，是一个排除偶然因素的好办法。国足输掉比赛之后经常抱怨偶然因素，有时候是因为裁判不公，有时候是因为主力不在，有时候是因为不适应客场气候，有时候是因为草皮太软，有时候是因为草皮太硬。关键是，如果你经常输球，我们还是可以得出你是个弱队的结论。

国际足联的世界排名，是根据各国球队多次比赛的成绩采用加权平均的办法统计出来的，这个排名比一两次比赛的胜负，甚至世界杯赛的名次更能说明球队的实力。但即便如此，我们也不能说国际足联的排名就是各个球队的“真实实力”。这是因为各队毕竟只进行了有限次数的比赛，再好的统计手段，也不可能把所有的偶然因素全部排除。有了误差的概念，我们就要学会忽略误差范围内的波动。

比方说，2014年1月，国家统计局公布了2013年全国居民收入基尼系数为0.473，新闻报道说：“该数据虽较2012年0.474的水平略有回落，但仍显示居民收入差距较大。”这个“回落”有多大？0.001。从统计角度来说其实没什么意义，可能你的测量误差就大大超过0.001。考试成绩也是如此，假设一个同学考了两次才过英语四级，第一次57分，第二次63分。他说这是略有进步，我说你这不叫进步，叫都在测量误差范围之内。

3.赌徒谬误
假如你一个人在赌场赌钱，比如玩老虎机。你一上来运气就不太好，一连输了很多把。这时候你是否会有一种强烈的感觉，你很快就该赢了呢？

这是一种错觉。赌博是完全独立的随机事件，这意味着下一把的结果跟以前所有的结果没有任何联系，已经发生了的事情不会影响未来。举个简单的例子，假设瓶子里装着六个球，上面写着1到6，作为每一次的中奖号码。每次抽奖的时候，你要从六个球中随便拿一个，而这六个球被你拿到的机会是相等的，都是1/6。现在假设前面几期抽奖中6出现的次数的确比2多，那么这一次抽奖的时候，你是否就会有更大机会抽到2呢？不会！这些球根本不记得谁曾经被抽到过，2号球不会主动跑过来让你抽。它们被抽到的概率仍然都是1/6。

概率论中的确有一个“大数定律”，说如果进行足够多次的抽奖，那么各种不同结果出现的频率就会等于它们的概率——对上面这个例子来说就是如果你抽取足够多次，你得到“2”的结果数应该跟得到“6”的结果数大致相等。

但人们常常错误地理解随机性和大数定律——以为随机就意味着均匀。如果过去一段时间内发生的事情不那么均匀，人们就错误地以为未来的事情会尽量往“抹平”的方向走，用更多的“2”去平衡此前多出来的“6”。但大数定律的工作机制不是跟过去搞平衡，它的真实意思是说如果未来你再进行非常多次的抽奖，你会得到非常多的“2”和非常多的“6”，以至于它们此前的一点点差异会变得微不足道。

这是一个著名的错误，被称作“赌徒谬误”（Gambler'sfallacy），全世界的赌场里每天都有人在不停地犯这个错误。现在我们再回过头来看，这其实是一个很简单的道理。但是这个错误在生活中还可以以不同的方式上演。比如有个笑话说一个人坐飞机的时候总是带着一颗炸弹，他认为这样就不会有恐怖分子炸飞机了——因为一架飞机上有两颗炸弹的可能性应该非常小！再比如战场上的士兵有个说法，如果战斗中有炸弹在你身边爆炸，你应该快速跳进那个弹坑——因为两颗炸弹不太可能正好打到同一个地方。这都是不理解独立随机事件导致的笑话。

4.在没有规律的地方发现规律
理解了随机性和独立随机事件，我们可以得到一个结论：独立随机事件的发生是没有规律和不可预测的。这是一个非常重要的智慧。

“彩票分析学”是深受彩民喜爱的一门显学。这门学问完全合法地出现在各种报纸、网站甚至是人民网上，认为彩票的中奖号码跟股票一样，存在“走势”。它使用“双色历史号码”“余数走势”“五行码”等五花八门的数字曲线，使用“奇偶分析”“跨度分析”“大中小分析”，帮助彩民预测下一期中奖号码。彩票分析师信誓旦旦地声称他们能在一定程度上预测中奖号码。

但是我们知道中奖号码是纯粹的随机现象，根本没有规律。明明没规律，这些彩票分析师到底是怎么看出规律来的呢？也许他们并不是故意骗人的，而是很可能真的相信自己找到了彩票的规律。发现规律是人的本能——春天过后是夏天，乌云压顶常下雨，大自然中很多事情的确是有规律的。人脑很擅长理解规律，但是很不擅长理解随机性。发现规律任何时候都可以帮助我们更好地生存下去，而理解随机性却是只在现代社会才有意义的一个技能。

如果数据足够多，我们可以找到任何我们想要的规律。比如说圣经密码。有人拿圣经做字符串游戏，在特定的位置中寻找能对应世界大事的字母组合，并声称这是圣经对后世的预言。问题是，这些“预言”可以完美地解释已经发生的事情，等到预测尚未发生的事情的时候就没有那么好的成绩了。关键在于圣经里有很多很多字符，你如果仔细找，尤其是在借助计算机的情况下，总能找到任何想要的东西。

未来是不可被精确预测的。这个世界并不像钟表那样运行。

5.小数定律
现在，我们知道，在数据足够多的情况下，人们可以找到任何自己想要的规律，只要你不在乎这些规律的严格性和自洽性。那么，在数据足够少的情况下又会如何呢？
如果数据足够少，有些“规律”会自己跳出来，你甚至不相信都不行。

人们抱着游戏或者认真的态度总结了关于世界杯足球赛的各种“定律”，比如“巴西队的礼物”——只要巴西队夺冠，下一届的冠军就将是主办大赛的东道主，这一定律在2006年被破解；另一个“1982轴心定律”——世界杯夺冠球队以1982年世界杯为中心呈对称分布，也在2006年被破解。还有一些定律是没有被破解的，比如“凡是获得了联合会杯或者美洲杯，就别想在下一届世界杯夺冠”。中国的职业联赛也有自己的定律，比如“王治郅定律”——只要王治郅参加季后赛，八一队就必然获得总冠军，以及“0∶2落后无人翻盘定律”。

如果你仔细研究这些定律，你会发现不容易破解的定律其实都有一定的道理。王治郅和八一队都很强，0∶2落后的确很难翻盘，而获得世界杯冠军是件非常不容易的事情，更别说同时获得联合会杯、美洲杯和世界杯了。但不容易发生不等于不会发生，它们终究会被破解。那些看似没有道理的神奇定律，则大多已经被破解了。之所以“神奇”，是因为其纯属巧合。世界杯总共才进行了20多届。只要数据足够少，我们总能发现一些没有被破解的“规律”。

如果数据少，随机现象可以看上去“很不随机”，甚至非常整齐，感觉就好像真有规律一样。1940年伦敦大轰炸。当时伦敦在德军V2导弹的攻击下损失惨重，报纸公布标记了所有受到轰炸地点的伦敦地图之后，人们发现轰炸点的分布很不均匀。有些地区反复受到轰炸，而有些地区却毫发无损。难道德军在轰炸伦敦的时候故意放过了某些地区吗？

对英国军方来说这是一件非常恐怖的事情，因为这意味着V2导弹的精度比预想的要高得多，以至于德军可以精确地选择轰炸目标。而伦敦居民则相信，那些没有遭到轰炸的地区是德国间谍居住的地方。有些人甚至开始搬家。

然而事后证明V2导弹是一个精度相当差的实验性质的武器，与其说是导弹还不如说是大炮——德军只能大概地把它打向伦敦，而根本无法精确地控制落点。也就是说，伦敦各地区受到的轰炸完全是随机的。虽然不均匀，但完全符合随机分布。

问题的关键是随机分布不等于均匀分布。人们往往认为，如果是随机的，那就应该是均匀的，殊不知这一点仅在样本总数非常大的时候才有效。当初 iPod最早推出“随机播放”功能的时候，用户发现有些歌曲会被重复播放，他们据此认为播放根本不随机。苹果公司只好放弃真正的随机算法，用乔布斯本人的话说，就是改进以后的算法使播放“更不随机以至于让人感觉更随机”。一旦出现不均匀，人们就会认为其中必有缘故，而事实却是这可能只是偶然事件。

如果统计数字很少，就很容易出现特别不均匀的情况。这个现象被诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼戏称为“小数定律”。大数定律说如果统计样本足够大，那么事物出现的频率就能无限接近它的理论概率。而小数定律说如果样本不够大，那么它就会表现为各种极端情况。

哪怕一个硬币再完美，你也可能会连投4次都是正面朝上，甚至是让你惊恐的连续10次正面朝上。一个人口很少的小镇发现对某种疾病有较高的发病率，跟一个大城市有同样大小的发病率，完全不是一回事儿。一个只有20人的乡村中学某年突然有2人考上清华大学，跟一个有2000人的中学每年都有200人考上清华大学，完全没有可比性。

如果你的统计样本不够大，你什么也说明不了。正因为如此，我们才不能只凭自己的经验，哪怕是加上家人和朋友的经验去对事物做出判断。我们的经验非常有限。别看个例，看大规模统计。有的专栏作家听说两三个负面新闻就敢写文章把社会批得一文不值，这样的人非常无知。所以，理解随机现象最大的一个好处就是你不会再轻易地大惊小怪了。