11.3 黑格尔：历史就是在不断进步

黑格尔：历史就是在不断进步

⼀、知识点

1、数论：

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。

整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(像黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)。

按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

2、哥德巴赫：

哥德巴赫（1690.3.18-1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）。哥德巴赫之所以在数学上负有盛名，是由于他在1742年给欧拉的一封信中提到所谓“哥德巴赫猜想”。

3、毕达哥拉斯定理：

毕达哥拉斯定理，就是勾股定理 勾股定理:
　　在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定 古埃及人利用打结作RT三角形理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
　　定理：
　　如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
　　如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是4，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
　　来源：
　　 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

二、金句/精华笔记

1、其实对教数学和质量科学的老师提出一个非常高的要求，要把他所教的这门科学的革命史拿出来说清楚。脱离自然科学的历史来教自然科学，这是我们时下，特别是基础教育领域当中学习自然科学的教学方法没做到的。

2、总是脱离自然科学史，脱离科学革命史来教自然科学的一个又一个知识点，于是学生缺乏一种能力把不同的知识点串联起来的线索他抓不到的。

三、全文逐字稿

课程文稿 

以数学的学习做例子。

我们最初进入数学是通过把握到一个自然数的概念。（比如）我们在孩提时代父母就教我们数数，最初简单的方式用10个手指来数，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，那么10个手指不够用了，不够用可以有教学工具、教具，那个架子上面穿着不同颜色的珠子。我们来做加法运算、减法运算，（我们）就在自然数的观念里了。

进入到小学的学习，终于要学分数了。现在是几年级学我不清楚，或是三年级，或是四年级小学，我们开始学分数，那么数学算术老师就教我们怎么进行分数的运算。教了我们一条规则：分数的运算第一步，先要找到分母的最小公倍数，这叫通分母。比方说1/3+1/2，你怎么加？你不能把它变成2/5，你要找到3这个分母和2这个分母的最小公倍数，这个最小公倍数就是6。（这是）通分母的规则。

好，那么我小时候也经历了这次分数的学习，我们大多数人一辈子都会进行分数运算，都会通分母，但是我们究竟知道不知道为什么要通分母，这条规则来自哪里？

这是我们在学习数学的过程中遇到的第一个数论的新概念、新观念，叫分数，这是场革命。

实际上在教分数的时候，对小学的数学老师要求蛮高的。一场数论革命来了，你该怎么教？你先要让学生领会到“分数”这个观念，怎么个教法？

我后来才知道，我后来长大之后，包括进入大学学习数学。我们哲学系以前都有规定，哲学专业的本科学生必须学高等数学，必修课，当然现在这个规定没了。我后来才明白为什么自己成不了数学家的缘故，就是学习数学的第一次革命我没有成功地过关，我只知道通分母，一辈子会通分母，（但是）不知道为什么通分母。

我想老师应该怎么教才好呢，应该讲一个故事。

父亲买了一块蛋糕，他有两个儿子，一个大儿子，一个小儿子。他把蛋糕带到家里来了，跟两个儿子这么说，这个蛋糕你们来吃吧，但是有规则，哥哥年龄比弟弟大，可以吃这块蛋糕的一半（1/2）。弟弟的年龄比哥哥小，他就吃这个蛋糕的1/3，你们要严格遵守这条规则。然后父亲走了，兄弟两人就来琢磨怎么分这个蛋糕。一开始他们很急，拿一把刀来，把整个蛋糕一切为二，一分为二。

当然了，哥哥是能拿到其中的一半（1/2），那么弟弟只能吃1/3，这1/3如何取得呢？他们后来发现，这一刀劈开来以后，一分为二没解决一个问题：1/3如何取？那么兄弟两人就开始商量、讨论，要找到一种方法，既让哥哥能够成功地获取1/2，也要让弟弟成功地获取1/3。他们琢磨来琢磨去，终于想出方法了。

他们发现，我们必须先把这块蛋糕分为6份，一旦分为6份，那么哥哥当然成功地获得1/2，弟弟也成功地获得了1/3。这件事情做成了，他们欣喜无比，他们自己获得了一个数论的新观念，叫分数，而且知道分数的单位一定是1。

分数的单位是1，假如这个分数的数值超过1，那叫假分数，真分数一定是以1为单位的。这就是分数这观念来到他们的心中了，这是个数论的新观念。

数学的最基础的领域就是数论。数论是非常难的一个领域，比方说哥德巴赫猜想就是数论难题，到现在没最后解决，陈景润只是证到了1+2。

我们学习数学的过程就是经历一场又一场数论革命，后来数论革命又来了。

比方说这个数论革命是毕达哥拉斯的发现带来的。毕达哥拉斯讨论几何学问题，一个直角三角形，它三条边的数量关系怎么计算？后来发现了，当然中国人也发现了，称之为“勾股定理”，毕达哥拉斯学派发现了，因此被称为“毕达哥拉斯定理”，是同一条定理。

直角三角形三条边的数量关系是这样的：两条直角边，它们的平方之和等于第三条边——斜边的平方，就a平方加b平方等于c平方，c就是斜边。

这是我们小时候就知道的一个定理，几何学定理，叫勾股定理或毕达格拉斯定理。

好，现在我们假如遇到这样一个三角形，直角三角形，它的两条直角边分别是1，那么这个斜边的长度怎么计算呢？1平方+1平方=c平方，c就是斜边。那么1平方+1平方=2，2就是什么？斜边长度的平方。那么斜边长度还没算出来，2= c平方，那么c等于多少呢？开根号，说平方根，那么怎么开？开，结果发现开不进，1.414后会（有）无限的小数可以延伸，它形成了一个无限小数。

这件事情引起毕达哥拉斯学派巨大的惊讶，惊讶在哪里？

（我们来看）这样一个直角三角形，它的两条直角边分别是1，所以是个等腰直角三角形，那么这个斜边是差不多该怎么计算，1平方+1平方就是2，2=c平方，c等于2开根号是吗？开不尽啊，带来了一个无限小数。

但是我们同时知道这个斜边从a点到c点，这个长度是不是个确定的数？它肯定是个确定的长度，是一个确定的数，但却无法用数来表达，因为它（是）无限小数。

一个无限小数，又同时是个确定的量。一个几何学上的发现引发了一场数论革命，作为一个观念来了，这叫“无理数”。

一场数论革命来了，从勾股定理或毕达哥拉斯定理，当中会发现什么？开不尽的小数，开根号开不进的数，于是无理数观念成立，对数要重新理解了。重新理解自然数，重新理解分数，它们要从有理数和无理数的区分来获得它们的新意义，自然数并没有被否定掉，分数也没有被否定掉，它们属于有理数，那么还有一类叫无理数，革命发生了。为此毕达哥拉斯学派举行了隆重的庆典。

后来数论继续发生革命，一次什么革命？虚数的发现。虚数的发现又对数重新加以理解，有理数、无理数都属于实数，与实数对应的是虚数，就是一场又一场数论革命。

所以你学习数学的过程就是经历一场又一场数论革命，革命带来了真实的进步，数论的革命带来了数学的进步，这个进步表明为什么它是进步，它把先前被理解的数来给予它获得一个新的意义，从一个更广阔的意义上重新被理解。

所以你在数学的领域当中学习，每一次数论革命你都要成功地经历，你才有真正的数论思想，而不是简单地习得运算的方法。

我成不了数学家的原因就是第一次革命的关没过好，后面的关都过不了。到了高等数学，微积分学习来了，微积分学习要给你一个观念叫“极限概念”，那么老师就在课堂上讲极限了，极限是这样一个数：它无限趋向于0，又是一个确定的数。我听了傻掉了，它无限趋向于0，又是个确定的数，这什么意思？

我们本科一年级哲学专业学了高等数学，这一个学期我就始终在跟切线概念搏斗、挣扎，终于还是没懂。期末考试我的分数打蛮高，96分，求导、微积分运算我都会，没懂过什么叫极限概念，到现在都没懂你知道吧？我能成数学家吗？不可能。因为我没有完成，没有成功地过一次又一次数论革命的关。

所以学习的过程也是个革命的过程，而革命的过程才带来学习的进步。该怎么教自然科学，该怎么教数学，其实对教数学和自然科学的老师提出一个非常高的要求，要把他所教的这门科学的革命史拿出来说清楚。

脱离自然科学的历史来教自然科学，这是我们时下、特别是基础教育领域当中学习自然科学的教学方法没做到的，都是脱离自然科学史，脱离科学革命史来教自然科学的一个又一个知识点，于是学生缺乏一种能力，把不同的知识点关联串联起来的那个问题线索，他抓不到的。

学习的过程是一个革命的过程，科学自身的进展也是革命的过程，每一次革命带来了真实的进步。科学的进步不是知识的积累，线性的积累，而是连续性的中断，革命的发生，范式转换（paradigm shift）。

好，这一讲我们就先讲到这里，下一讲，我们会继续沿着这个问题展开讨论。