第十九讲：数学简史：从一到九（下）

今天我们要讲数学史的5、、6、7、8、9。

五次松绑，是指数域的五次扩充。从正整数、到整数、到有理数、到无理数、到虚数、复数。人们对于数的认识，越来越广，越来越深入。

在英文里有一个有趣的段子，虚数关于i和无理数π的，很多理工科的学生喜欢印在T恤衫上。

无理数π虚数i说：Get real（还是实在些吧！）

虚数i对无理数π说：Be rational （讲点道理吧！）

听了这个段子，你是要实在些，还是要讲点道理呢？

数学史上最著名公式排名、最美的公式等式排名，有各种版本，但是，很多排名里包含了物理学的公式，比如质能公式，麦克斯韦方程等。这里列出的六个公式，都是数学方面的，而且是小学到高中可以理解掌握的公式。

第一个： 1 1=2。同学们别小看它，这是人类最早计数的开始。

第二个：圆周长等于圆周率乘上直径， 人类发现圆周率是个常数。

第三个：直角三角形的直角边平方和，等于斜边的平方。这是毕达哥拉斯定理，是几何里的奠基石。

第四个：0.99999999....=1，这是柯西定义的极限，让微积分更加严格。

第五个：欧拉恒等式，把0，1，i，e， 这五个重要的数都包含了进来。

第六个是多面体欧拉公式，历史源远流长。我们来看一个立方体，它有几个面？前后上下左右6个面，对吧？有几个顶点？8个。有几条边？数一数，12条。 你看这三个数之间有什么关系？6 8-12=2。

笛卡尔发现了这个规律：多面体的顶点数，减去边数，加上面数，等于2。他试了一下其他的多面体，都符合这个规律。不过，他没有证明这个公式，最后由欧拉老师证明了。

同学们可以在课后找一些多面体验证一下这个公式。

在1900年希尔伯特公布23个数学难题之后100年，2000年初，美国克雷数学研究所，选定了七个“千年大奖问题”，建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得一百万美元的奖励。

克雷数学研究所“千年大奖问题”的选定，其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向， 而是集中了数学家们期待解决的重大难题。

这七个问题中，现在有一个已被解开，还剩六个。被解决的是全才庞加莱的一个猜想，是由俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼破解的。在佩雷尔曼之后，先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。其中就有华人数学家田刚。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认，佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

这七个问题中，有一个和华人科学家杨振宁有关——杨-米尔斯缺口。杨振宁和米尔斯都是理论物理学家，他们的物理成果“杨-米尔斯方程”，被誉为20世纪下半叶最重要的理论物理成就，是现代规范场理论的基础。有很多人甚至认为，这个方程比杨先生的诺贝尔奖成果“宇称不守恒”还要伟大。如果在数学上证明“质量缺口假设”，就能解释电子的质量从何而来。

当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想，是黎曼提出来的假设。这既是七大难题中的第一个，也是同时出现在七大难题和23个希尔伯特问题中唯一的一个。据说有人曾经问希尔伯特：如果他能在五百年后重返人间，他最想问的问题是什么？他回答说，最想问的就是：是否已经有人解决了黎曼猜想？

之前提到过的英国著名数学家哈代，曾经研究过黎曼猜想，得到过一些成果。但是，为什么拉马努金这样的天才没有去碰黎曼猜想呢？或许，最大的天才是要自己提出猜想的，而不是去证明别人的猜想——当然，这仅仅是我的猜想。

八伯努利，是指在三代人当中诞生了八位了不起的数学家的伯努利家族。之前雅各布•伯努利在复利计算、对数螺线和概率论中出镜。

伯努利一家祖上出过很有名的医生，也出过生意做得很大的香料商人，出过艺术家。到了尼克劳斯•伯努利这一代，他很希望让自己的孩子学习神学，或者干脆跟着自己做生意。但是他的两个儿子，一个叫雅各布，一个叫约翰，这俩兄弟都偏不满足他的心愿，他们俩都特别喜欢数学，于是就都学数学去了。

他们学数学不要紧，没想到连带着他们的后代，也开始热衷于数学，最后三代里面有八位有名的数学家出现，院士和教授级别的就更多了，以至于江湖传言：伯努利一家的人，碰到数学，就像酒鬼碰到烈酒。

雅各布的弟弟约翰•伯努利，觉得自己很牛。他用“求解最速降低线”来挑战全欧洲的数学家，当然也包括当时已经年老的牛顿：廉颇老矣，尚能饭饭否？

这个“求解最速降低线”，是困扰数学家近200年的难题。在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，那么，哪一条更快的呢？伽利略在1630年研究了这个问题，当时他认为这条线应该是一条直线，可是，后来人们发现这个答案是错误的。曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，哪一条才是最快的呢？伯努利解决了这个问题，这条最速曲线就是一条摆线，也叫旋轮线。

牛顿接到伯努利的挑衅之后，一夜之间就把问题解决了：不仅能饭饭，还能牛牛！

丹尼尔•伯努利是约翰•伯努利的儿子。

他在1726年首先提出：“在水流或气流里，如果速度小，压强就大；如果速度大，压强就小”。我们称之为“伯努利原理”。

这个原理是怎么回事呢？

我们拿着两张纸，往两张纸中间吹气，会发现纸不但不会向外飘去，反而会被一种力挤压在了一起。

因为两张纸中间的空气被我们吹动，速度快，压强就小，所以，外面压强大的空气就把两张纸“压”在了一起。这就是“伯努利原理”的简单示范。

这个原理在生活中有很多应用。在列车站台上都划有黄色安全线。这是因为列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气被带动而快速运动起来，压强就减小，站台上的旅客如果离列车太近，身体前后会出现明显的压强差，会把旅客推向列车。学了伯努利原理后，下次等地铁，再也不敢跨过那条黄线了吧？前方高能，小心伯努利。

丹尼尔•伯努利和欧拉是很哥们的师兄弟，曾经一起在俄国工作过很多年。两人一不留神合作研究出了欧拉-伯努利梁方程，一个关于工程力学、经典梁力学的重要方程，在十九世纪，这条方程成为第二次工业革命的基石。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成书于公元一世纪左右。其作者已不可考。《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。在数学上有独到的成就，不仅最早提到分数问题，还阐述了负数，是当时世界上最简练有效的应用数学著作。它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

有人将《九章算术》中的一道古题编成诗歌形式，具体如下：

城外一扇矩形门，有人扛竿去量应。

横着量之四尺余，立着量之两尺剩。

对角又复比一比，斜竿恰好端抵尽。

此门宽高各几何？还有竹竿有几尺？

您能解出这道题么？

《九章算术》还载有一个算题，是二元一次方程组，有人写成古诗：

八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒。

两处争强来斗胜，不相胜负正交加。

三十六头齐厮打，一百八手乱相抓。

旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？

看看，这是近两千年前的中国古人就能解答的数学问题。骄傲一下吧！

这个数学系列，从万年前人类的刀刻计数，到无理数，几何，代数，解析几何，复数，一直讲到微积分和概率论，涉及了大学之前的主要数学常识。

数学，在我们的日常生活中无处不在。从某种程度上讲，毕达哥拉斯学派的“万物皆数”，是成立的。大到宇宙运行、地球旋转，小到你的心跳和呼吸，都可以抽象成一个个数。

如果你能从这门课中，领略到数学的美，你会发现世界在数字构建下，是有条不紊的，你也拥有了更了解和看清世界的能力。这种数学的思辨和推理，将陪伴、呵护和指引你的一生。