第十七讲 平行线不再是唯一——非欧几何

我们在讲到欧几里得几何的时候，说到过前四条公设都非常简单，没有人会怀疑它们。但是第五条公设，文字叙述显得冗长，而且不那么显而易见。我们用了“相遇”“平行”和“远离”这样的比喻才把它说清楚。

如果同一平面内一直线同另外两条直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则两直线无限延长时，必在这一侧相交。

科学崇尚简单，当一个假设比较复杂时，这里面或许有什么蹊跷。后来有不少科学家，对这条公设非常疑惑。他们有两个问题：

第一个问题是：能不能找到更简单的描述？

第二个问题是：这条公设是否真的必要？能不能从其他的公设中把它推导出来？

为此，数学家们忙碌了两千多年！

在这个过程中，人们找到了这条公设的许多等价命题。1795年，英国数学家普莱费尔提出了一条等价的第五公设：

“过直线外一已知点，能作一条且只能作一条直线，平行于已知直线”。

此外，还有“任何一个三角形内角之和等于两个直角”。

但是，第二个问题却让所有人失败了。没有人能从其他九个公设公理把它推导出来。第五公设是独立于其他假设的。

在19世纪中叶，有两位数学家却独辟蹊径，他们大胆设想：既然没办法证明它，看着又很奇怪，那么，能不能假设它不对呢？或者把它替换掉？

其中的一位叫鲍耶，是匈牙利的数学家。这位在数学史上的留下大名的人物，简直是数学家里的异类。他是位语言天才，会九国外语，其中包括中文和藏文。他是奥地利军队的一名军官，曾经有13位军官和他打斗。他提出了一个条件，让挑战者一个个来，中间休息的时候他还要拉小提琴。结果这13位挑战者居然都败在他手下。真有“谈笑间强虏灰飞烟灭”的感觉。

他父亲也是一位数学家和教授。老鲍耶也曾经对第五公设感兴趣，年轻时花费了大量的时间研究过它。受到了很大的挫折，就去写诗、乐曲和剧本，以寻安慰。一不留神，他的剧作《一个爱国者写的五部悲剧》获得成功。

当他知道自己的儿子也对此着了迷时，告诫他不要在这上面耗费时间，因为它可能“吞没一千个牛顿这样的天才”。但是，把13名军官打趴下的小鲍耶怎么可能听劝告，他说：“我要白手起家创造一个奇怪的新世界。”

还有一位是俄罗斯的数学家，叫罗巴切夫斯基。他于1816年前后开始研究第五公设，起初他也试图证明它，后来他果断地放弃了这种尝试。

鲍耶和罗巴切夫斯基做了非常大胆的事，他们把第五公设改掉了，石破天惊地提出了，

“过直线外一点，能至少作两条直线与其平行不相交”

对，不是一条，而是至少两条。这怎么画啊？

这对于“数学圣经”《几何原本》是荒谬绝伦的背叛。

他俩想象，在一个花瓶的表面有一条直线，你可以画几条直线，都不和这条直线相交！在花瓶的平面世界里，不相遇，并不止一个结局！这个花瓶的面，是一种称为双曲面的平面——注意哦，不是担担面，也不是重庆小面。

这种“想象出来的几何”，一下子把数学界“炸了窝”。学术界把他们都当成疯子。

作为专业军官、不怕打架的鲍耶还可以淡然处之，但是，作为大学数学教授的罗巴切夫斯基，却因此丢掉了教授和大学校长的职务，急瞎了双眼，64岁就郁郁而终。

直到罗巴切夫斯基死后12年，他的理论才被国际学界证明是没有矛盾的。

1852年，又一位伟大的数学家出现了，他就是高斯的学生，德国的数学家黎曼。他在28岁时做了一个学术报告，修改了第五公设，

“过直线外一点，找不到一条直线与其平行不相交”

这简直是大胆。

但是，如果你想象一下在地球上，两条经线会在南极北极相交的，就能理解黎曼的说法了。他的新第五公设，是在球形曲面上成立的。

欧几里得说，只有一条不相交。

罗巴切夫斯基和鲍耶说，不止两条。

黎曼说，没有。

他们居然都是对的，而且居然都能自圆其说。还有更精彩的，

在欧几里得几何里，三角形的内角和等于180度。

罗巴切夫斯基几何里，三角形的内角和小于180度。

在黎曼几何里，三角形的内角和大于180度。

罗巴切夫斯基几何和黎曼几何，这两种不同于欧几里得几何的学说，被称为“非欧几何”。

在“非欧几何”的创立过程中，还有一个人的身影，就是黎曼的老师高斯。高斯是真正预见到“非欧几何”的第一人。他大约在1816年左右，就对非欧几何有了比较明确的认识。但是，高斯是个十分小心谨慎的人，对于发表自己的研究成果有非常严格的要求。他自己曾说：“宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。”所以，很多他认为不是很成熟的成果，都记在小本子上。当年高斯在看到小鲍耶的论文时说：“我不能赞扬你，因为赞扬你就是赞扬我自己”。他的小本子上很多年前已经有过研究，只是没有那么完善。

很有意思是，高斯是老鲍耶的铁哥们，是罗巴切夫斯基的师叔，也是黎曼的老师。三个非欧几何的发明人，都是他后一辈的弟子。按照高斯谨慎严谨的性子，他考虑过、研究过、没有发表过，还真是非常可能的。而且，这样的例子非常多，以至于数学史上有人发表新的发现，只要高斯说他也曾经在小本子上推导过，大家都会相信。这只是高斯才能享受的“王者荣耀”了。

在爱因斯坦广义相对论中的空间几何，就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，是欧几里得几何，但是，整个时空却是不均匀的，是弯曲的。在物理学中的这种解释，恰恰和黎曼几何的观念是相似的。这也正是黎曼数学在现代物理和宇宙学里的重大作用，他在数学界的地位，随着时间的推移，越来越高了。本来史上大家公认的四大数学家分别是：阿基米德，牛顿，欧拉和高斯。现在有越来越多的人，把黎曼拔到了与这四位同样的高度。

非欧几何的发现，是几何学的一次重大革命，也是数学思想的一次大解放。在19世纪之前，数学始终与应用紧密结合在一起。数学不能离开实用学科而独立发展，研究数学的最终目的是为了解决实际问题，但是，非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学，超越人们的经验。就是说，数学可以研究现实生活中不存在的对象，作出与现实相矛盾的假设。它可以独立于现实，存在于人们的想象。一旦走出了这一步，数学的天地就无限宽广了。

接下来的两首诗，写的分别是两种不同的非欧几何。

《罗氏几何》

在青花的瓶颈

在月色里，攀缘而上

不近不远地试探

不即不离地远视

两支青藤不知道

它们的今生，永不相遇

——这样的结局，并不是唯一

《黎曼几何》

以为努力平行

就可以远离

可以永不相见

等到了极点才发现

这一次终究无法躲避

——有人称它为老去

接下来的最后一回，我们会从一到九，重新回顾一下数学史上的有趣知识和故事。