第十六讲 虚的意义——虚数和复数

人类对于数的认识，发生过5次突破，每一次突破都让数的领域得到巨大的扩充。

一开始，人们认识的数，是1，2，3，4，5，6……，这些和自然界相关的数，叫自然数。

后来，因为要分骨头、分财宝，人类有了分数的概念。这是数的领域“数域”的第一次扩充。我们把可以用正整数的比率表示的数，都叫有理数。

再后来，希帕索斯用生命换来了数域的第二次扩充，无理数走上了数学的舞台。

等到0从印度的庙宇和墙壁上起飞，散落到各地之后，人们发现了负数，当一个数减去更大的数时，负数出现了。这是数域的第三次扩充。

但是，这一次扩充对中国来说，却要更早一些。最早记载负数的是最中国古代的《九章算术》。在算筹中规定"正算赤，负算黑"，就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。这在公元一世纪。

与中国古代数学家不同，西方数学家更多的是研究负数存在的合理性。16、17世纪欧洲大多数数学家不承认负数是数，认为从0减去4是纯粹的胡说。直到后来，人们用它来描述现实生活中某种关系，例如债务，如果你欠了我1个亿，我会记录-100 000 000，等你还我本金加上10%的利息，连本带利我就有了110 000 000 （-100 000 000）=10 000 000，我就有了1千万。当然，我这个例子中是津巴布韦货币，而不是美元或人民币。

数学家把前三次扩充好的数域，称为实数，实实在在的数，不管是整数、分数还是无理数。

这三次的扩充，也可以排列成：从正整数，到整数，再到分数，最后到无理数。

这一讲我们要讲的是数域的第四次和第五次扩充。

我们知道，一个数的平方，永远是正数，2的平方是正4，负2的平方还是正4。所以我们理所当然地认为，只有正数才有平方根，负数是没有平方根的。

但是，数学家们在进行计算的时候，其实经常会碰到负数的平方根。就在花拉子米的代数方程里，就有这样的情况出现，我们在初中代数里就碰到。在那时候，我们和古人一样，强制定义平方根里的数必须大于等于0，不然就是“无解”。

法国大数学家笛卡尔，给负数的平方根起了个名字，把这样的数称为虚数，不是实实在在的数。

过了100多年，欧拉用一个符号i（英文“imaginary"虚构的意思）来表示虚数，虽然不知道这个虚数是怎么回事，也不给它什么名份，却用得非常娴熟。

欧拉说：虚数是想象出来的数，是不可能存在的，它们什么都不是，纯属虚幻。

他用这个虚数，写出了数学史上最神奇的恒等式——欧拉恒等式。

这个恒等式包含了0，1，i，e，π, 这五个重要的数。

这个恒等式的证明，需要用到大学的级数展开公式，我们暂且放在一边。这么神奇的恒等式，当年欧拉却是一眼就看出来的。尽管当时的人们根本不知道，连欧拉也不知道，虚数和无理数的指数运算到底是什么含义。这就是数学被抽象化以后的厉害之处：你先不用管它是什么意思，先根据已有的公理公式推导一番，看看是什么结果，说不定有很多惊喜呢。

虽然欧拉把虚数玩出了花样，但是，在欧拉那里虚数更多的是一种数学技巧。真正让虚数有实际意义的，是另一位伟大的数学家高斯。如果说欧拉是18世纪数学界的第一人，那么，高斯就是19世纪数学界的王者。15岁进大学，19岁解决了千年难题：用圆规和尺，作出正17边形，轰动了数学界。21岁的时候，写出了名著《算术研究》，里面讨论了虚数和复数的问题。《算术研究》是现代数论研究的开端，它的出版几乎立刻使高斯被公认为“数学王子”。高斯在物理上也是有很多建树的，你知道吗？麦克斯韦方程组里有两个方程，也叫高斯定律。

我们来看看高斯是怎样来看待这个虚数的。

既然是

这里有一个平方运算，就暗示着：有一个数学操作，我们连作两次之后，就能得到-1。这是非常直观而巧妙的思路，但是，一般人想不到。

那么，这是一个什么样的“神操作”呢？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点： 1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。

当逆时针旋转180度时， 1就会变成-1。对不对？

那么，什么操作连作两次，就让 1变成-1，旋转了180度呢？

答案揭晓了：逆时针旋转90度，连转了两次就是180度。这是一个非常大胆的视角，把旋转用数学的方式表达了出来。

因此，我们可以得到下面的关系式：

　( 1) 逆时针旋转90度，再逆时针旋转90度 = (-1)

所以，高斯就大胆假设，虚数 i 就是“逆时针旋转90度”。在这里，i 不是一个数，而是一个旋转量——你有没有转晕？

i^2= (-1)，就是说：连着两次“逆时针旋转90度”，1就变成-1。

这样，就找到了虚数的数学含义。任何一个实数，都可以通过90度旋转，变成一个虚数！这就是数域的第四次扩充。

高斯在1831年，更进了一步，第五次推广了数域：他用一个实数，一个虚数，配对组合表示一个“复数”——复杂的数，用来表示坐标系上的一个点，并用加法表记。比如3 5i，就是实数（横坐标）为3、虚数（纵坐标）为5。

这个坐标系，看着和笛卡尔坐标系一个样，但是，它代表了一个“复数的平面”，里面的每一个点，都是一个复数，由实数部分和虚数部分构成：a bi。

前三次扩充的数域，只是这个平面上一维的横坐标轴，一根线。复数，把数域一下子推广到了两维的平面。

这个复平面上的每一个点，从原点到它的点位置画一根线，就代表了一个有方向性的量，我们叫做矢量。这种表示法，在物理上有很大的应用。复数运算的方法，在力学、电磁学中有非常广的应用。麦克斯韦方程组里面的电磁场强度，就是用复数表示的。

从正整数，到分数、无理数、负数、虚数和复数，人类的视野越来越广，对数的理解也越来越全面、深入。

那么，复数是不是包括所有的数？复数之外还有数吗？

答案是，有，还有四元数。

四元数是由爱尔兰数学家哈密顿在1843年发明的数学概念。

复数是由实数加上虚数单位 i 组成，相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，四元数一般可表示为a bicj dk，其中a、b、c 、d是实数。

四元数在计算机图形处理方面，特别是旋转处理方面，有很大的优势。那些好莱坞特技的电影中，就用到了四元数的处理。

在四元数之外，还有八元数，十六元数。八元数在弦理论、狭义相对论和量子逻辑中有应用。剑桥大学的数学物理学家正在寻找粒子物理标准模型和八元数之间的联系。

只要人类探索的脚步一直不停下来，人类的想象力不被束缚住，数的领域还可以被不断拓宽。而少年时的你，可能就是其中破冰拓荒的人。

下一回，更加让人脑洞大开的数学，违反2000多年欧几里得体系的非欧几何出现了。它是爱因斯坦广义相对论的数学基础。