003爱与数学|数学真的让我们头疼吗？

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数学是什么？有什么用？

一提到数学，不少人就会感到头疼。不光是一些小学生被晦涩难懂的奥数题折磨得筋疲力尽，而且一些大学生在报考硕士研究生时也尽可能避免数学科目。现在的小学数学题目都可能让博士束手无策，怎么能不让小学生望而生畏呢？设计这样题目的人肯定不是数学家，因为数学家最大的希望就是以最简单、最通俗的方式来解释深奥的数学知识，绝不会把简单的数学知识包装得五颜六色、奇形怪状而让人眼花缭乱。设计这样题目的人，不管出于何种目的，都是抑制小学生数学兴趣的罪人。小学生为数学感到头疼，不仅是孩子的悲哀，更是数学界的悲哀。

正是由于一系列不恰当的教育方式，渐渐地，渐渐地，让一些学生对数学望而生畏，甚至萌生了自己只适合文科、不适合理工科的错误想法。我承认每个人的天赋存在差异，但绝不认可根据人的天赋差异可以划分出来文科生与理科生。如果按照现行的文课与理科的划分方式，伟大的历史学家陈寅恪和傅斯年肯定被归为文科领域的学者，殊不知他们在欧洲留学期间都曾研修过数学、物理学、化学等多门理科课程。况且，陈寅恪教授在双目失明需要助手时，选择助手的第一个条件就是数学要好。在他看来，数学好的人思维方式差不到哪里去，数学不好的人思维方式也好不到哪里去。现在的不少大学生在报考研究生时，往往要看考试科目里有没有数学，并以此为依据选择所报考的学科。不少人都说，数学太难，考数学就考不上了。在我看来，没有参加数学考试而入学的研究生发展潜力很有限，很难胜任前沿的学术研究工作。

数学是一种工具，帮助我们在这个世界生活。数的概念在人类历史上很早就出现了，在货币出现以前，人们以物易物，但要事先确定不同物品之间的交换比例，然后按此比例进行交易。这其中，至少两个地方用到数学：一是如何确定交互比例，就在于人们要把对不同物品的价值感知以数字的形式体现出来；二是在交易过程中要计算物品的数量。这表明，在早期人类社会生活中就已经离不开数学。今天我们已经进入了互联网时代。不必说庞大的互联网，不必说深奥的大数据，也不必说已经成为工作和生活的一部分的电脑，仅仅一部手机，它功能的实现都是以多种数学知识为支撑的。我们用手机打电话、发信息、浏览朋友圈、刷微博、看视频、听节目、看新闻，等等等，这些看似稀松平常的日常之举都与信号传递有关，信号传递的背后隐藏着成千上万个数学定理与数学公式。

数学是一种语言，一种不会发生歧义而且超越所有价值观的语言，这种语言向我们诉说这个世界的奥秘之处。佛教徒和基督教徒具有不同的信仰，他们对这个世界的解释并不相同。社会主义者与纳粹分子也具有不同的信仰，他们对这个世界的认识也不相同。原因在于，这些不同的人群所信奉的价值观不同。没错，每个人都在自己所信奉的价值观的指引下采取行动，价值观的不同，导致了世界上人们行为的多样性。价值观不同的人对于同一个概念可能有不同的解读，比如，不同的人对“民主”“自由”的解读就存在很大差别。但是，一个人无论持有什么样的价值观，对于同一个数学公式，只要他能理解，理解方式就是唯一的，这个数学公式给他传递的意思也是唯一的。对于一群持有不同价值观的人而言，同一个数学公式所表达的意思也是相同。比如，对于函数y=2x，不管美国议员还是基地组织人员，都会解读为y是x的两倍，y随着x的增加而增加，y随着x的减小而减小。在这个意义上说，数学是一种全世界都通用的语言。这种语言超越了并不相同甚至截然相反的种种价值观，这种语言以精准、简练的方式向我们诉说这个世界的奥秘之处。

数学是一个独立存在的世界，不管我们去不去认识和理解，那些定理始终存在，就像一个个埋在地下的文物等待着考古学家去发掘一样，数学定理也等待着数学家去发现。这个独立的数学世界不同于人类世界，不会随着时间的变化而变化。勾股定理就是一个显而易见的例子，勾股定理在过去成立，在现在成立，在未来也会成立。数学这个独立世界中存在的知识与其他世界中存在的知识具有深刻的联系。虽然目前人们还搞不清楚这种联系为什么存在，但已经确信存在这种联系。比如，爱因斯坦使用数学公式，构建了狭义相对论与广义相对论，直到英国的测量船测量出恒星光线的偏移之后，狭义相对论才得到验证。爱因斯坦的伟大之处在于，他不需要实际经验与实际证据，仅仅凭数学推理就构建了这种理论。与其说这是爱因斯坦的伟大之处，不如说这是数学的伟大之处。当前正在发展着的弦理论与超弦理论都是最先根据数学推理而提出来的，包括夸克的提出也是如此。这些看上去荒诞不经的理论在刚被提出来时，常受质疑，但神奇的是，若干年后的实验室中会提供相关的支持证据。

自然科学与数学的结合已经非常紧密，自然科学与数学相得益彰，互相受益。我在想，社会科学与数学的结合还远没有如此紧密，我们能不能从通过数学推理来构建社会科学理论呢？依靠数学推理构建新理论，在自然科学中很成功，在社会科学中，会不会也很成功呢？有人说，行不通，因为社会科学研究的是人，人有价值观，有感情取向，有情绪起伏，人是很复杂的。我认为，如果把人看作自然界的一个组成部分，那么人的特征就应该符合自然界的特征，既然数学这个独立的世界可以帮助物理学、化学等自然科学建构理论，就应该也可以帮助经济学、管理学等社会科学建构理论。如果把人看作与自然界对立的部分而存在，那么人的行为就应该不受自然法则的约束。很显然，这种说法是错误的！因此我认为，数学知识在社会科学领域大有可为。

爱德华·弗伦克尔是什么人？

在目前看来，要把数学这个复杂的世界讲清楚是一件不可能完成的工作，能够把数学世界中的一个枝节讲清楚，就很不容易了。《爱与数学》的作者数学家爱德华·弗伦克尔认为，如果上一门美术课，就不能只教学生如何在栅栏上涂油漆，而是要把达芬奇、梵高、莫奈、毕加索等人的作品展现出来，并加以讲解。这样不仅可以让学生们领略到艺术的魅力，还可以培养学生们的兴趣。如果只教涂油漆，即使最有美术天分的学生，其兴趣都可能被扼杀在摇篮之中。与之相似，上数学课就不应该只讲将近四百年前的微积分和历史更久远的函数，而是要介绍清楚当代数学界的前沿问题，一是让学生领略到数学之美，二是通过把数学问题与现实世界结合起来而培养学生们的兴趣。基于此，他试图通过《爱与数学》这本书来讲解一门生动的数学课。

也许讲好这门既前沿又生动的《爱与数学》，非一位传奇式人物莫属，爱德华·弗伦克尔就是一个传奇式的人物，他把《爱与数学》讲得很好。爱德华·弗伦克尔出生于俄罗斯，在小时候就对数学和物理学感兴趣，在15岁时，在父母的介绍下，他认识了数学家叶甫根尼耶维奇，在叶甫根尼耶维奇的指导下，阅读数学书籍并定期见面研讨。遗憾的是，由于他具有犹太人后裔的身份，在莫斯科大学入学考试中受尽刁难，没能进入莫斯科大学学习数学，只能进入招收犹太裔学生的莫斯科石油天然气学院学习数学。他一边在学校学习，一边与数学家合作探讨前沿数学问题，他在本科阶段就在数学期刊上发表了学术论文，不是一篇，而是多篇有价值的论文。毕业后，在导师的帮助下，他在莫斯科石油天然气学院找到了一份工作，不久，他就收到了哈佛大学的邀请，邀请他去作三个月的访问学者。到哈佛后，他攻读了博士学位，成为了哈佛大学的正式教师。此后，他逐渐把研究方向转移到朗兰兹纲领上面来，并与多位数学家合作，取得了令人瞩目的成就。2008年，他与作家马斯·法贝尔合作完成了探讨艺术与科学之间关系的剧本《二体问题》。2009年，他与导演瑞恩·格拉夫斯合作，以《二体问题》为基础，作为男主角，拍摄了电影《爱与数学之祭》。这部电影以大众易于接受的艺术形式向大众展示了数学的魅力与数学文化，而且打通了数学和艺术之间的任督二脉，仅凭这两点，这部电影就足以令爱德华·弗伦克尔在数学史上写下浓重的一笔。

可见，爱德华·弗伦克尔是最会拍电影的数学家，也是最懂数学的电影编剧和演员。爱德华·弗伦克尔以自己为例向全世界表明，数学和艺术是可以在一个人身上并存的。人们通常认为，艺术家行为古怪，思维跳跃性很大，而数学家古板呆滞，思维过于严密。其实，这不过是人们想象出来的样子。作为严肃数学家的爱德华·弗伦克尔可以胜任电影男演员，就是对这种看法的有力驳斥。我相信，真正的数学高手可以写出一手好诗，伟大的诗人也能够体会到数学之美。爱德华·弗伦克尔为什么能取得如此大的成就呢？

首先，兴趣是最好的驱动力。兴趣是怎么来的？一小部分是天生的，绝大部分都是后天培养的。爱德华·弗伦克尔期初对物理学和数学都感兴趣，他也不清楚自己的兴趣到底在哪里。大多数人都会有类似的经历。不过，他比大多数人幸运，数学家叶甫根尼耶维奇把他的兴趣拉到了数学之路上，他给爱德华·弗伦克尔推荐的几部书籍培养了爱德华·弗伦克尔的兴趣，之后的定期讨论使得这种兴趣得以深化。正是因为有兴趣作为驱动力，爱德华·弗伦克尔才可以在数学之路上披荆斩棘，勇往直前。

其次，与人合作是成长的助力。爱德华·弗伦克尔的运气一直不错。他自己也承认，在他成长之时遇到的几位数学家帮他走上了数学之路。在父母的引见下，他认识了叶甫根尼耶维奇。在读大学时，在瓦尔琴科的介绍下，他认识了数学家富克斯，在富克斯的指导下，爱德华·弗伦克尔开始了数学研究之旅，并发表了第一篇数学论文。在富克斯的刻意安排下，他又结识了数学家费金，与费金合作，取得了不少成果。在他毕业后，他结识了更多数学家，还有物理学家、作家和导演。通过与这些人合作，爱德华·弗伦克尔取得了一个又一个成果。

最后，自己的努力是成功的保障。为什么领域差别如此之大的人都愿意与爱德华·弗伦克尔开展合作呢？因为爱德华·弗伦克尔有与他们合作的实力。合作的双方必须是平等的，这里的“平等”不仅指身份平等，更多的是指实力平等。合作的双方都希望从合作当中受益，不能够让对方受益的一方就会失去合作的权利。爱德华·弗伦克尔非常努力，自己在数学上取得的成就足以让合作者相信与他合作能够受益。

《爱与数学》讲了什么？

《爱与数学》的内容可以归结为一个目标、两条线索和三个对比。

《爱与数学》的目标在于向世人展示数学之美，唤起大家对数学的热情，使大家认识到数学对人类社会的贡献。

顾名思义，“爱与数学”包括了“爱”与“数学”两条线索。“爱”是作者从事数学研究的经历。正是因为爱数学，所以一直在数学的世界里遨游。“数学”是作者介绍朗兰兹纲领的线索。朗兰兹纲领被认为是数学领域的“大一统理论”，受到了数学界的高度重视。要介绍清楚最前沿的朗兰兹纲领并非易事，作者从最基本的对称操作讲起，引出群的概念，进而介绍了辫群、伽罗瓦群、李群等相关概念，讲解了费马大定理的证明过程，讲解了层-函数字典的概念，等等，这些都是了解朗兰兹纲领的基础知识。最后，作者介绍了他自己在朗兰兹纲领领域开展的工作与取得的成果。这两条线索相互交织，但又各自清晰。

爱德华·弗伦克尔在《爱与数学》中做得最多的对比就是数学和物理学，物理学中的不少理论的构建都依赖数学知识。与物理学的结合，也促进了数学的发展。作者还提到自己与作家合作完成了剧本《二体问题》，与其说这是数学家与作家的合作，不如说这是数学和文学的联姻。数学是一种很精准、很简练的语言，文学是一种很美丽、很婉转的语言，同为语言，自然有共同点。弗伦克尔介绍了自己和导演合作拍摄《爱与数学之祭》的过程，这是数学和艺术的联姻，也是数学细胞和艺术细胞同时存在于作者身上的证明和体现。

读完此书，我有什么收获？

读完该书，我最大的收获有两点：

第一，深化了我对数学的认识。之前我对于数学的认识仅停留在“数学是一种很精确、很简洁的语言”这一层面上，我没有认识到，作为一种语言，数学可以超越人们的价值观而存在。之前虽然我意识到自然规律是客观存在的，科学家在不停地发现这些自然规律，但对数学规律也是一种客观存在的意识不足，现在我认识到：不仅数学规律客观存在，而且这些规律组成的数学世界独立于人类的思维而存在。不管我们人类去不去认识，那些规律都存在。数学家们就像考古学家们发掘文物一样，孜孜不倦地发现数学规律。

第二，强化了我对数学重要性的认识。虽然我向来重视数学在科学研究中的作用，但是我仅仅把数学当成一种工具来用，比如，通过构建博弈模型来分析企业创新中行为互动的问题，通过统计方法来对所搜集的数据进行分析，以完成实证研究，我并没有把数学当成构建理论的指导。事实上，夸克理论的构建、相对论的构建、超弦理论的构建都是在数学的指引下完成的，起初并没有实证基础。与自然科学相比，社会科学年轻得多，与数学的结合也不如自然科学那样紧密，如果把社会科学当成科学的一部分，那么就一定可以像自然科学那样在数学的指引下建立新理论。

我要告诉大家的是，《爱与数学》是一本尽可能通俗易懂、深入浅出的书，具有大学本科数学基础的人，读起来毫不费力。正如作者所说，如果你感觉其中某些部分读起来困难，可以省略不读，不会影响你对整体的理解。我相信，只要认真读完该书，你对数学的兴趣就一定会有所增加。

最后，以朱熹的《春日》结束。

胜日寻芳泗水滨，无边光景一时新。

等闲识得东风面，万紫千红总是春。