数学丨18 物体的形状位置也可以用数学研究吗？

上节课，我们讲解了，代数思想的诞生和方程的由来，这节课，我们来聊聊数学中，不同于算术和代数的另一个分支——几何。

几何起源

我相信，即使你没有学过几何，也一定在生活中接触过几何图形。比如说，车轮是圆的，教室是方的，篮球足球乒乓球都是球形。铅笔是直的……等等。那么，为什么这些物体的位置和形状也可以用数学来研究呢？人们又是怎么想到用数学来研究这些问题的呢？

其实人类对物体形状大小的研究有着非常久远的历史。根据希腊历史学家希罗多德的描述，古埃及地区的尼罗河每年都会发洪水，于是周围的农田每年都会遭到损坏。所以几乎每年都要重新测量，才能确定其归属。于是由于需要，人们就造了一个希腊词——Geo-metrein，这个词的意思就是土地测量。

我们现在熟知的Geometry也就是几何学这个词，就是由它演变而来的，其中geo指的就是土地，metrein就是英文中的metering，也就是“测量”的意思。同样，地理这个词——geography也来自这里。所以，由于测量土地的需要，人们第一次接触到几何学。不过那时候的几何，还只是一个模糊的概念。人们甚至还不知道我们认为最基本的点，线这些概念。

而人们第一次有了对点和线的认识，据说是在观测天文的时候。在漫长的观测过程中，人们逐渐把天上的星星抽象的看成一个一个点。然后又把星星之间想象出了直线。比如，我们都知道，北斗七星像一个汤勺的形状。这个“汤勺”，就是人们想象出这七颗星星之间都有连线的结果。

有了点和线的认识，人们逐渐发现，线与线之间的关系是很玄妙的。于是，后来又诞生了角度的概念，然后才慢慢出现了三角形啊，多边形啊等几何图形。

征服蓝天和海洋一直是古人们的梦想。有了船只后，征服大海的旅程就开始了。可是，新的问题出现了。在陆地上走路的时候，如果迷路了，我们还可以通过辨认周围的树木花草来找到回去的路。而一旦坐船出海，周围除了水就是水，怎么样才能找到返航的路呢？这个小问题显然难不倒我们聪明的祖先，很快，他们就找到了一个好方法。

我们知道太阳每天东升西落，所以白天大家依靠太阳的位置和时间判断方向，晚上也是一样，可以通过星星的位置判断方向。比如北斗星，就一直指向北边。于是人们逐渐根据经验，制作出了地图和航海图。这些地图中，就包含了人们最早的几何知识，从点，到线，到距离，角度，都包含在其中。

欧几里得

后来，大数学家欧几里得把前人对几何的研究，单独整理出来，又用自己的方法，系统的、完整的记录下来，写出了那本我们曾经说过的旷世奇书——《几何原本》。这不仅仅是一本书，而是欧几里得用他的思想，建立的一门独立于天文和地理之外的学科——几何学。

我认为，《几何原本》带给我们的远远不止是知识，更是一种思考问题的方法。也正是这本书，第一次采用演绎逻辑、归纳逻辑相结合的方式，把一个完整的科学体系展现在我们面前。可以说，它引导着人类理性思维走向了正确的道路。

当然了，在我们人类历史的长河中，无论多么高明的前辈，都不可能解决所有的问题。欧几里得也是一样，他的《几何原本》并不是完美无缺的，书中还存在着一些漏洞。

非欧几何

比如，书中，欧几里得对直线的定义就很含糊。我们知道，越是简单的命题，越难以描述清楚。对于直线这个简单的命题，欧几里得用了另一个没有定义过的名词，去解释它，这显然是不够严谨的。不仅如此，我们之前提到的五条公理和五条公设中，第五条公设就是著名的平行公设。

不知道大家还记不记得，原书中是这么描写的：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。如果用我们现在熟悉的数学语言描述，这句话跟：“同位角相等，两直线平行”是一个意思。按照欧几里得的想法，这应该是所有人都承认的道理。可是这句话却引发了几何学上，长达两千多年的，关于平行线的讨论。

许多人对平行线是否真的不能相交表示怀疑。因为按照欧几里得的说法，平行线是无限延伸的，那么既然是无限延伸，谁也看不见尽头，你怎么知道，在尽头的地方，两条直线还是不会相交呢？所以一群哲学家和一群数学家无休止的争吵了两千多年。

直到近代，俄国人罗伯切夫斯基和德国人黎曼，分别用平行线会相交的理论，构建出了另外一套完全不同的，但是也同样严密的几何系统。在他们的理论中，平行线可能会相交。三角形的三个角，可能都是直角等等……为了和传统欧式几何学区别开来，我们把他们建立起的这一套几何系统，就叫做“非欧几何学”。

那么你肯定有疑惑，这两种几何系统，哪一种才是正确的呢？其实，不管是欧式几何还是非欧几何，都是正确的。它们唯一的区别就是：欧式几何默认，平行线是不相交的，非欧几何则认为：平行线可以在无穷远的地方相交。

而这两种说法，都无法用数学证明是对的，当然，也无法被证明是错的。所以，现在我们就有了两种完全不同的几何分支。当然了，由于非欧几何的思维难度太大，所以现在全世界的中学教材中，都还是采用欧式几何让我们学习。

课后练习

好了，我们来总结一下，今天我们讲解了几何的诞生和演变的过程。

最早，人们由于研究天文地理的需要，人为的把一些东西抽象成点，比如天上的一颗颗星星。又想象出一条条线，把这些点连起来，这就是最早期的几何图形。

后来，大数学家欧几里得，详细的用归纳演绎的方法，总结了前人所有的几何知识，并加以扩展，就成了我们现在学习的几何学。

再后来，由于人们对欧几里得描述的平行线不相交的公理的质疑，诞生了一个新的几何分支——非欧几何。那么现在给大家留一道思考题：在代数中，有没有类似几何这样的公理呢？如果有，那么代数中的公理一定正确吗？为什么没有另一个代数的分支呢？

下节课，我们就接着这节课的内容，来讲一讲几何学当中最著名，也最有意思的一个定理——勾股定理。我们不见不散！