初中物理抛物线公式

抛物线教案教学内容：1．抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；2．描点画抛物线．教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化．一、课题引入先复习抛物线的定义、四类标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程．然后提出：为了准确而简便地画出抛物线的图形,应对抛物线的标准方程所对应的图形的位置有一个大体的估计,为此要先对抛物线的范围、对称性、截距进行讨论．还应明确,把抛物线的定义与椭圆、双曲线的第二定义加以对比,提出抛物线的离心率等于1．二、知识讲解1．抛物线对学生来说是比较熟悉的,有了讨论椭圆、双曲线几何性质的基础,再讨论抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）不会遇到什么障碍．但要注意：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大,它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线,它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．2．在抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0）中,令x＝,则y＝±p．这就是说,通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标为（,p）,（,－p）,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长是2p．利用抛物线的几何性质及抛物线上坐标为（,p）,（,－p）的两点,能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．三、例题讲解例1．已知抛物线的顶点在原点且经过点（5,5）,x轴为对称轴,求这抛物线的方程,并画出它的图形．分析：首先由已知点坐标代入方程,求参数p．设抛物线方程为y2＝2px,因为它过点（5,5）,故　　52＝2p×5,p＝所以　　抛物线方程为y2＝5x．列表x01.2522****…y02.53.23.23.93.9…描点,画图,（图略）例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm,灯深为40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p值．（见课本P99）例3．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1、P2两点,求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图2-15．设P1P2的中点为P0,过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1,P0Q0,P2Q2,垂足为Q1、Q0、Q2,则｜P1F｜＝｜P1Q1｜,｜P2F｜＝｜P2Q2｜∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因而圆P0和准线l相切．例题4 .直线与交于A,B两点,且AB中点坐标是2,则此直线的斜率是 例题5 .上三点的纵坐标的平方成等差数列,求证：这三点与焦点的连线段长也成等差数列.四、练习与讲评1．求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点,焦点是（0,－4）（2）顶点在原点,准线是x＝4（3）焦点是F（0,5）,准线是y＝－5（4）顶点在原点,焦点在x轴上,过点A（－2,4）2．在同一坐标系中,画出下列抛物线的草图．（1）y2＝2x （2）y2＝x （3） （4）y2＝4x比较这些图形,说明抛物线开口大小与方程中x的系数是怎样的关系．3．一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是1.1m,跨度是2.2m,求拱形的抛物线方程．4．设抛物线y2＝4x的焦点F,准线l交x轴于R,过抛物线上一点P（4,4）作PQ⊥l于Q．求梯形PFRQ的面积．答　案1．（1）x2＝－16y （2）y2＝－16x （3）x2＝20y（4）y2＝－8x2．（图略）x的系数越大,抛物线张口越大3．4．14讲评：（1）要正确判断抛物线的标准形式．（2）注意p＞0．（3）对于实际问题,要合理选择坐标系．小结：1.抛物线的几何性质2.数与形的结合与转化

初三数学抛物线公式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点坐标公式是（-b/2a，（4ac-b2）/4a）；y=ax2+bx，顶点坐标是（-b/2a，-b2/4a）。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线的一般解析式为
y
=
ax²
+
bx
+
c
(a不等于0)
其对称轴
y
=
-b/(2a)
顶点坐标为
（
-b/(2a)
，
（4ac-b²）/4a）
当a>0时，抛物线开口向上，有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，有最大值。
|a|
越大，抛物线的开口越小，反之，|a|越小，抛物线的开口越大

1.a>0,则抛物线y=ax²+bx+c开口向上；
a<0,则抛物线y=ax²+bx+c开口向下；

2.b与a决定了抛物线的对称轴
ab>0，对称轴在y轴的右侧；
ab<0，对称轴在y轴的左侧；
简称为：左同右异

3.c>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方（即y轴的正半轴）
c<0,抛物线与y轴的交点在x轴的下方（即y轴的负半轴）

抛物线公式:
一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）
顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）
交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）
其中 是抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

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抛物线公式:
一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）
顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）
交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2）
（a≠0）
其中
是抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根

首先，因为过点M的直线与抛物线y^2=2px交于两点，则此直线不可能平行于y轴，故而，我们可以假设过点M的直线方程为y=a(x-p/2)。
将此直线方程代入抛物线方程，我们得到交点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足如下等式：
(1) a^2*x^2 - (2+a^2)p*x + p^2*a^2/4 = 0
(2) y1^2 = 2p*x1
(3) y2^2 = 2p*x2
而根据线段的定义，AM = √(x1-p/2)^2+y1^2，BM = √(x2-p/2)^2+y2^2。
利用等式(2)(3)，我们知道x1,x2≥0，并且AM = √(x1-p/2)^2+2p*x1 = x1+p/2，BM = √(x2-p/2)^2+2p*x2 = x2+p/2。
所以，1/AM+1/BM = 1/(x1+p/2) + 1/(x2+p/2)。
通分后，我们得到1/AM+1/BM = (x1+x2+p)/[(x1*x2+x1+x2+p^2/4)]。
针对等式(1)利用二次方程维达定理，x1+x2=(2+a^2)p/a^2，x1*x2=p^2/4。
代入1/AM+1/BM，可得，1/AM+1/BM = ((2+a^2)p/a^2+p)/[(2+a^2)p^2/2a^2+p^2/2] = 2/p。

平抛运动可正交分解为两个运动：水平方向上的速度为Vo的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。

水平方向上位移是x=Vot；
竖直方向上的速度V=gt，位移y=0.5gt²。
【其中Vo是平抛运动的初速度，方向水平；V是竖直方向上的速度，g是重力加速度，t是运动时间；x是水平方向上的位移，y是竖直方向上的位移。】

由此还可求出抛物线的轨迹方程：y=0.5gt²=0.5g(x/Vo)²=(g/2Vo)x²。

平抛运动可正交分解为两个运动：水平方向上的速度为Vo的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
水平方向上位移是x=Vot；
竖直方向上的速度V=gt,位移y=0.5gt².
【其中Vo是平抛运动的初速度,方向水平；V是竖直方向上的速度,g是重力加速度,t是运动时间；x是水平方向上的位移,y是竖直方向上的位移.】
由此还可求出抛物线的轨迹方程：y=0.5gt²=0.5g(x/Vo)²=(g/2Vo)x².