(n-1)×(n-1)。
在数学中,拉普拉斯展开(或称拉普拉斯公式)是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开,即是将其表示成关于矩阵B的某一行(或某一列)的n个元素的(n-1)×(n-1)余子式的和。
简介
行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行(或按某一列)的展开。由于矩阵B有n行n列,它的拉普拉斯展开一共有2n种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理,是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。
拉普拉斯行列式的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算,拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。
行列式不仅仅可以按一行展开,也可以按k行展开。这就是拉普拉斯定理。与行列式按一行展开相似,我们需要选中k行,列则是在k列中取k列那么,k式中的k变成了选取的k行k列交叉点组成的行列式的值,原先的余子式k变成了剩下的k行k列交叉点组成的行列式,(-1)的系数则为选取的所有行序号和列序号之和。
拉普拉斯公式(Laplace equation)是界面化学的基本公式之一。描述弯曲液面两侧压力差Δp与液体表面张力系数γ及曲面曲率半径的关系。其表达形式为:
式中:ΔP—作用在界面两侧的压力差;
γ—液膜的界面张力;
R1、R2—为受附加压力△P作用的曲面上某点的任意两个正交的曲率半径。
注意
曲率半径正负号的判定应与确定压力差所处地位一致。由拉普拉斯公式可知。曲率半径越小曲面两侧压力差越大。拉普拉斯公式可对多种界面现象作出定性和定量的解释。
欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的,是数学界最着名、最美丽的公式之一。之所以毕早者如此,是因为它涉及到各种显然非常不同的元素,比如无理数e、虚数和三角函数。复变函数中,e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式,e是自然对数的底,i是虚数单位。
欧拉公式有4条,分别是:
1、分式
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0;当r=2时值为1;当r=3时值为a+b+c。
2、复数
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i;cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来,被誉为数学中的“手薯天桥”。
当θ=π时,成为e^iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。
3、三角形
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:d^2=R^2-2Rr。
4、多面体
设v为顶点数,e为棱数,f是面数,则v-e+f=2-2p。
p为亏格,2-2p为欧拉示性数,例如p=0 的多面体叫第零类多面体; p=1 的多面体叫第睁携一类多面体。