概率论产生于十七世纪,本来是由保险事业的发展而产生的,但是来自于赌博者的请求,却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在1654年,有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题:“两个赌徒相约赌若干局,谁先赢 m局就算赢,全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a
有一类随机事件,它具有两个特点:第一,只有有限个可能的结果;第二,各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中,存在大量的随机现象,随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果,就叫做随机变量。
随机变量有有限和无限的区分,一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举,这样的随机变量叫做离散型随机变量;如果可能的取值充满了一个区间,无法按次序一一列举,这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中,比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的,都有一个分布曲线,实践和理论都证明:有一种特殊而常用的分布,它的分布曲线是有规律的,这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数,其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望,差异度也就是标准方差。 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查,来推断总体的情况。究竟抽样多少,这是十分重要的问题,因此,在抽样检查中就产生了“小样理论”,这是在子样很小的情况下,进行分析判断的理论。
适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线,从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线?如何比较同一问题中求出的几种不同曲线?选配好曲线,有如何判断它们的误差?...... 就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候,先作出假设,在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。
方差分析也叫做离差分析,就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。
由于随机现象在人类的实际活动中大量存在,概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展,因而形成了许多重要分支。如:随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。
统计概率是建立在频率理论基础上的,分别由英国逻辑学家约翰(JohnVenn1834-1923)和奥地利数学家理查德(RichardVonMises1883-1953)提出,他们认为,获得一个事件的概率值的唯一方法是通过对该事件进行100次,1000次或者甚至10000次的前后相互独立的n次随机试验,针对每次试验均记录下绝对频率值和相对频率值hn(A),随着试验次数n的增加,会出现如下事实,即相对频率值会趋于稳定,它在一个特定的值上下浮动,也即是说存在着一个极限值P(A),相对频率值趋向于这个极限值。这个极限值被称为统计概率,表示为:例如,若想知道在一次掷骰子的随机试验中获得6点的概率值可以对其进行3000次前后独立的扔掷试验,在每一次试验后记录下出现6点的次数,然后通过计算相对频率值可以得到趋向誉配于某一个数的统计概率值。 扔掷数 获得6点的绝对频率 获得6点的相对频率 1 1 1.00000 2 1 0.50000 3 1 0.33333 4 1 0.25000 5 2 0.40000 10 2 0.20000 20 5 0.25000 100 12 0.12000 200 39 0.19500 300 46 0.15333 400 72 0.18000 500 76 0.15200 600 102 0.17000 700 120 0.17143 1000 170 0.17000 2000 343 0.17150 3000 560 0.16867 上面誉灶提到的这个有关相对频率的经验值又被称为大数定律,是频率理论学家定义庆虚指概率论的基础。然而没有人可以将骰子无限的扔下去,因此在实践中也就无法有力的证明大数定律,许多来自数学理论的论证至今也没有取得成功。尽管如此,统计概率在今天的实践中具有重要意义,它是数理统计的基础。
概率论衫判空是数理统计的基础或瞎,数理统计是概率论的一种应用。区别如下:
一、应用不同:概率论与数理统计属于数学的一个分支,它更注重于理论研究,它的结论广泛应用于各领域随机现象的研究。
二、变量不同:社会统计学描述的是变量,数理统计学描述的是随机变量。
三、形式不同:统计学更注重应用,它的许多结论都来自于概率论与数理统计。数冲哪理统计更注重公式的推导,而统计学原理只是把数理统计的`公式转换为更易用的形式。
四、概率不同:概率研究的是单个事件发生的概率。数理统计研究的是一个群体的抽样概率。以及发生这个概率的可能区间。数理统计更倾向于统计学的概念。
数理统计特点
它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象,根据资料为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性。
例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试验,试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情况。试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批生产灯泡的使用寿命、合格率等。为了研究它的分布,利用概率论提供的数学模型进行指数分布,求出值,再利用几天的抽样试验来确定指数分布的合适性。
概率的计算公式是:P(A)=m/n,“(A)”表示事件,“m”表示事件(A)发生的总数,“n”是总事件发生的总数。概率的计算需要具体情况具体分析,没有一个统一的万能公式。
概率的考点分析
1.随机事件和概率,包括样本空间与随机事件;概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式);条件概率与概率的乘法公式;事件之间的关系与运算(含事件的独立性);全概公式与贝叶斯公式;伯努利概型。
2.随机变量及其概率分布,包括随机变量的概念及分类;离散型随机变量概率分布及其性质;连续型随机变量概率密度及其性质;随机变量分布函数及其性质;常见分布;随机变量函数的分布。
3.二维随机变量及其概率分布,包括多维随机变量的概念及分类;二维离散型随机变量联合概率分布及其性质;二维连续型随机变量联合概率密度及其性质;二维随机变量联合分布函数及其性质;二维随机变量的边缘分布和条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布。