高中英语阅读精度精炼

长度是怎样炼成的

为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑“长度” 这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个“长度” 存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解。

我们把目前要回答的问题列在下面：

什么是长度？

是不是直线上任何一部分都可以有长度？

直线上的一个线段当然应该有长度，直线上的两段分离的线段也有总长度，单点有没有长度呢？随便从直线上挖出一些点来得到的也许是虚虚实实的一个“虚线段”有没有长度？是不是我们从直线上任意取出一个子集合(线段啦单点啦都可以看成是直线的特殊的子集合)，都可以定义它的长度？——这件事无论在数学上还是应用上都是重要的，如果能够给直线的任何子集定义长度，那就太方便了。

如果上面这件事是可以的话，那么随便给一个直线上的点集，长度怎么计算？

等等等等。

事实上，在数学中这些问题都能够得到解答，但是首先让我们把上面问题里的“长度” 这个词都换成更准确的一个术语：测度(measure)。之所以要采用这么一个新造的词，首先是因为“长度”有时候有局限性。一个线段的长度好理解，一个复杂的点集，说长度就会显得很奇怪；不仅如此，在二维情形下我们还要研究面积，三维还要研究体积，四维还要研究不知道什么积……为了省去发明一个又一个新词的苦恼，我们把这些东西统一叫做二维测度，三维测度……一了百了。

好吧，那么，我们来定义(一维)测度。

——不，不要误会，我并不是要在此刻写出一大段难懂的话，告诉大家“测度就是什么什么什么什么。” 或者更谦逊一点，说“我认为，测度就是什么什么什么什么。” ——也许这是一般人看来自然不过的工作方式，但不是数学家的。

这是因为，我们现在要定义的是某种特别基础的概念。也许在定义某些很复杂的高层概念的时候这种方式很自然，可是概念越基础，这种方式带来的问题就越大。关于测度这种层次的概念几乎必然伴随着用语言难于精确描述的种种晦涩的思考，一旦一个人试图把他对这个词的理解宣诸笔墨，那么无论他多么小心翼翼的整理他的陈述，在别人看起来他的定义都必然漏洞百出，有无数可以商榷的地方。——而因为这个概念在整个逻辑体系中的位置过于基础，任何商榷又都必然说起来云山雾罩，像哲学家们通常进行的关于基础概念的争论一样令人头昏脑胀。如果数学家们要开会用这种方法给出测度的定义，那一百个数学家一定会提出一百零一种定义来，最终的结果是什么有效的结论也得不到。

数学家们采用的是完全不同的方式：我们先不要贸然去说“什么是测度”，而是先问问自己，当我们想发明一个新的定义的时候，我们在这个定义的背后是想达到怎样一种目的？换句话说，我们想让这个定义实现哪些事情？

首先，测度——不管它具体怎么定义，其作用的对象按照我们的期望是直线上的任意一个子集，而最后得到的测度应该是一个具体的数字。也就是说，所谓定义测度，就是我们需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的一个子集，我们都能够最终得到一个数字作为其“长度”。 （在这里我们把无穷大也看成是数字，例如整根直线的测度就是无穷大。）

然后，这种方法总要满足一些必要的约束。——不能随便给一个线段标上一个数字，就说它是测度了。这些约束有哪些呢？

第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度。我们应当保证空集的测度是零。这是很显然的，否则这个测度就毫无实际意义了。

第二，既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测度，并且这个测度应该等于两者之和。——这也是很直观的要求。两个线段如果不相交，那么他们的总长度应该等于两者长度之和。更高维的情况也一样，两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各自面积之和，诸如此类。

更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也对，五个也对，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。——注意，是可数无穷个！

(为什么呢？直接说任意无穷个不好么？干嘛只限定是可数无穷个？)

数学家是很谨慎的。上面这个性质被称为可数无穷个集合的测度的“可加性” ，承认可数无穷个集合有可加性是不得不为之，因为在实际应用中我们确实常常会遇到对可数无穷个子集求总测度的问题，可是任意无穷个子集的测度也能相加，这个陈述就太强大了，我们一时还说不好测度有没有这么强的性质，还是先只承认可加性对可数无穷个集合成立好了。

第三……

“且慢” ，数学家说，“先别找太多的约束，看看这两条约束本身能够在多大程度上给出测度的定义好了。”

(什么嘛，这两条约束根本什么都没说。第一条是废话，第二条也是很显然的性质，要是只满足这两条就可以叫做测度，那测度的定义也太宽松了，我随随便便就能构造出好多种不同的测度出来。)

也许是这样，可是到时候再添上新的约束也不迟。这也是数学家们常用的办法，先定义尽量宽松的概念，然后再一点一点的附加条件，得到更细致和特殊的子概念。就目前的情况来说，看起来这两条约束确实是宽松了点……

不幸的是——也许出乎你的意料——这两条约束不是太宽松，而是已经太严苛了。我们可以证明，给直线的每个子集都标上数字作为测度，保证空集的测度是零，并且测度满足可数无穷个集合的可加性，这件事情在逻辑上并无内在的矛盾，但是这样的测度必然具有一些数学上非常古怪的性质。也就是说，这样的测度根本不能用来作为对长度的定义！

（关于这件事的证明其实很简单，但是需要一点数学基础才能读懂，详情可以参考文献[1]。关于什么是“古怪的性质”，后面还会提及。）

在这种情形下，我们只好退而求其次，减少对测度这个概念的期望。——可是前面提到的两条性质都再基本不过了，如果连它们都不能满足，我们定义出来测度又有什么用呢？——于是数学家们另辟蹊径，不是放松这两条限制，而是放松它们的适用范围：我们不去强求测度能对直线的每个子集都有定义，也就是说，我们只挑出直线的一些子集来定义测度，看看能不能避免逻辑上的困境。

需要挑出那些子集呢？很显然，我们希望对于平时人们能接触到的各种常见的子集都能定义测度，所以单点集是需要的，线段也是需要的，而若干线段的交集或并集（这里若干还是指至多可数个）也是需要的，对它们的交集或并集再作交集或者并集也是需要的……

在数学中，我们把所有线段反复做交集或并集生成的这一大类集合称为可测集（当然它有更严格的定义，不过大概就是这个意思）。不要小看这种生成方式，事实上，你能想象得到的直线的子集其实都是可测集，——要找出一个非可测集的集合反倒是有点困难的事情。虽然可测集不包括直线的全体子集，但是如果我们能对所有可测集定义合理的测度，那这个测度也足以应付人们的需要了。

所幸的是这确实是可以做到的。在测度论中有很大的一部分篇幅是用来论述测度是怎么对可测集得以建立的，这部分内容一般被表述为一个称为Caratheodory’s theorem的理论。言简意赅地说：是的，只针对可测集定义的，满足前面那两条假设的“合理”测度总是能够建立得起来的。

这里所谓的“合理”，就是说它能够用来作为我们心目中那个“长度”而存在。为了说明这一点，让我们想想我们离我们的目的地还差多远：直到现在为止，我们还是完全不知道一个测度究竟是什么样子。举例来说，按照我们的想法，一个单点集的测度应当是零（对应于点没有长度的直观），而实数轴上从0点到1点的线段的测度应当是1，更一般地，从a点到b点的线段的测度应当是b-a，——可是这一切我们统统还不知道呢！

这一切确实还未曾得到说明，而且更关键的是，仅仅有前面给出的那两条假设，我们也确实无法推理得出上面那些结论。这也是数学家们的通常做法：先有一个一般的概念，然后通过给它添上一些新的独立约束来构造出更细致的概念。

我们现在已经有了一个一般的测度的概念，把它总结一下，就是说：

对于直线的一大类子集（也就是可测集，谢天谢地，我们在应用中真正关心的集合都属于可测集），我们能够在不伤害逻辑的自洽性的前提下，给他们中的每个都标上一个数字，称为测度，并且这些数字满足下面两条性质：

空集对应的数字（空集的测度）是零。

若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。

我们只知道这样的测度是存在的，但是很显然并不唯一，因为我们未曾对这些具体的数值作过任何限定。为了使测度能够符合我们心目中的那个“长度”的概念，我们需要进一步添上一条需要满足的性质：

如果把直线看作实数轴，那么从数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a，例如，数轴上从2到3的这一段线段的测度应该等于1。

乍一看这好像只是个不完全的限定，我们只规定了最简单的线段的测度，却没有规定剩下那许多奇奇怪怪的集合的测度，可是好在有数学推理来替我们包办剩下的一切：只要添上这条约束，那么所有的可测集的测度的具体大小就会以唯一不导致逻辑上的矛盾的方式被确定下来。也就是说，对于任何一个可测集，我们都有办法算出它所对应的那个唯一可能的测度来。（怎么算的？如果你不想看到数学式子的话就别问了……）

需要说明的是，同样也是根据这三条，我们就能够发现单点的测度必须是零（否则就会导致计算上的矛盾）。注意：这里的逻辑完全是数学的而不是哲学的，也就是说，我们是可以“推导”出单点的测度是零这样的结论的。

各位看到这里可能会很疑惑，我究竟在干什么？我并没有回答事先许诺要回答的任何一个问题（为什么点的长度是零而线段就不是，诸如此类），而是蛮横无理的把它们作为规定和规定的推论强制性的摆在这里，作为测度的定义的一部分。这算什么回答？

请允许我把对此的解释（以及对前面所有那些哲学性问题的解释）放在后面，先暂且回到测度的定义本身上来。

前面说了，只要能满足头两条性质，我们就称定义出来的那个东西为测度，加上第三条只是为了让这个测度符合我们对长度的具体数值的要求。也就是说，加上第三条性质后，我们定义出的应当只是测度中的具体某一种，一般把它称为勒贝格测度（Lebesgue measure）。再强调一遍，正如前面所说的那样，勒贝格测度并不能定义在直线的所有子集上而只能定义在其中的可测集上。但是我们在数学中和应用中能够遇到的集合差不多全是可测集。

（那就总还有几个不可测集了？是的，确实存在一些特别诡异的集合是不可测集。关于不可测集的构造和性质一直是数学上一个有趣的话题，——虽然并不重要，因为事实上在真实世界里我们遇不到它，它们只是作为抽象的数学构造出现的。我们后面还会再次谈及这个问题。）

既然勒贝格测度只是测度的一种，那就是说，数学上是承认不同于勒贝格测度的更一般的测度存在的。这些测度只满足三条性质的前两条，而未必满足第三条，也就是说，这些“测度”并不保证从0点到1点的线段的测度是1，甚至也未必保证单点集的测度是零。它们的性质可能和通常人们对长度的理解很不相同。

（为什么呢？既然明显和常识相悖，为什么还要保留这些人造的概念呢？）

这是因为，尽管数学家发明测度的概念的初衷确实只是想把“长度”的概念精确化和逻辑化，（事实上也确实做到了，就是勒贝格测度），但是人们很快发现，那些更一般的测度虽然未必还符合人们对“长度”这个词的理解，但是它们作为一种数学概念却能在大量的学科里得到应用，甚至成为很多理论的基础语言。一个最简单的例子是概率论，这门古老的学科在测度论建立之后就完全被测度的语言所改写，以至于今天一个不懂一般测度的人完全没办法研究概率论；另一个例子是著名的狄拉克测度（Dirac measure），这个曾经令数学家也有点头痛的非正常测度在物理学和信号处理等领域里扮演了非常关键的角色。

——不过，这是后话了。

人民日报：小学欠下的“阅读账”迟早是要还的！

孩子，是要穷养出吃苦奋斗的精神，还是富养出疏阔温厚的性格？是要让他深知柴米油盐酱醋茶的得来不易，还是让他在琴棋书画诗酒花中尽撒才华？

不论选择哪一种养育模式，或者说不论能给孩子哪种养育方式，在阅读这件事儿上绝不能吝啬。

《人民日报》曾刊文，提醒父母要鼓励孩子根据兴趣进行大量阅读。事实上，对中小学尤其是小学生而言，“大量阅读”可不是一件课余里锦上添花的事儿，而是实打实的学习需求！

《人民日报》的刊文究竟说了什么，为什么说初中掉下的成绩，可能都是小学欠下的阅读账？

01

读书可以任性一点

父母应鼓励孩子根据兴趣大量阅读

藏书多，读书少？你家有这种情况吗？

现在的家长普遍重视培养孩子的阅读习惯，不少孩子都有属于自己的小书架，但是如果问一问孩子书架上的书都读过吗，那么答案十有八九会让父母失望，从头到尾认真读过的书不过少数几本，能反复阅读的就更少了。

也就是说，孩子的阅读量和拥有的图书量不成比例，这就意味着家长在给孩子选择图书时出现了严重的错位。

父母认为好的书，孩子不感兴趣；孩子喜欢的书，家长认为不值得读。对于这个问题，我的看法是，把选择权交给孩子，孩子喜欢读什么就读什么。

02

把选书权交给孩子

对此，不少朋友难以接受，他们说：“小孩子懂什么？怎么能让他们自己去选呢？读到坏书怎么办？”其实，“读什么书”这个问题最有发言权的是孩子自己。

父母为孩子选择的图书不论多么优秀，如果孩子不喜欢，读不进去，还是没用的。更何况，所谓父母为孩子挑选图书如今已经沦为根据销量排名和网站评论买书的“跟风”，未必就真的适合孩子。

▣ 培养专注的阅读习惯最重要

对于孩子的成长而言，重要的不是读什么，而是培养一种以书为伴的良好习惯，而这种习惯只能通过从头到尾读完一本再读一本的循环不断的过程才能培养出来。

阅读是需要耐心的，如果书中的故事抓不住孩子的心，以小孩子的专注程度，很快就会把书扔在一边不再读了。所以，我们的目标其实是通过阅读培养专注和耐心，这两种品质的价值远远超过某本书所传递的知识。

实际上，决定孩子未来人生和事业成就的最重要的品质之一就是专注和耐心。明白了这个道理，家长就不必再纠结于孩子读什么书，而应该着力培养孩子的专注和耐心。

只有孩子感兴趣的书，他才有可能认真地耐心地读完。完完整整读完一本书所带来的成就感也会使孩子更加自信，不会因书太厚而产生畏惧感。

▣“量”比“质”重要

对于提高阅读能力来说，有时候“量”比“质”重要，只有量上去了，阅读能力才会有一个质的提高。所谓阅读能力，本质就是记忆与理解。如同健身时必须通过反复提举重物才能促使肌肉生长，只有大量阅读才能刺激大脑掌握阅读技能，更有效率地处理信息的输入输出。

因此，在青少年时期大量阅读是极其重要的，记忆力和理解力会因此打下一个坚实的基础。所以，父母应该鼓励孩子根据自己的兴趣大量阅读，而不必过于计较读什么。

越是年幼的孩子对阅读材料的趣味性要求越高，此时如果家长一味强调要读好书，读名著，反而易使孩子以为读书就是这么没意思，难以真正建立阅读习惯。

反之，带孩子去书店或图书馆，让孩子自己随便选，只要去的次数足够多，孩子最终将发现自己的兴趣所在，读书的劲头就会大大增强。

犹太人有一个传统，在给孩子的第一本书上涂蜂蜜，让孩子从小就认为读书是一件甜蜜的事，目的正在于此。

读书，还是要任性一点儿的。

03

小学的重点不在成绩，而在阅读

常有家长问：我家孩子小学成绩挺好的，常常考100分，为什么到了初中，尤其是初二初三，突然就被落下了？

其实，小学成绩是具有一定“欺骗性”的，而初中成绩不好，很可能是因为孩子在小学时，家长忽略了阅读能力的培养。

▣ 培养阅读能力，需要两个条件

中小学阶段（尤其是小学阶段）是孩子的良好习惯形成的关键期，同时也是孩子各项能力的发展黄金期，其中最为重要的就是学习能力的发展，这种看似复杂的学习能力，却可以通过一种能力的发展培养去习得，这种能力就是“阅读能力”。

▣ 总的来说，阅读能力，需要两种条件才能发展起来：

第一是持续性和连贯性，即阅读习惯的培养：要每天固定有阅读时间，而不可以喜欢就读读，不喜欢就不读了，这样不会有好习惯的养成；

第二是阅读量的累计，没有量的累积，就没有质的提升。

看看阅读有多重要！要知道，不论男孩女孩，不论穷养富养，对孩子的书架，请一定舍得投资。

04

小学欠下的阅读账，早晚会暴露

一个孩子的聪明才智，如同种子，需要条件才可以发芽生长。这个条件就是海量阅读和动手动脑的游戏方式。

如果一个孩子从没有读过一本好书，甚至从没读过一本超过10万字的书，而是把大量时间都投入到学校课本和大量作业里去了，那么这个孩子的天赋聪明就被饿死了。

小学阶段的孩子，尤其是儿童，不可以把主要精力都投入到课本和作业里，是因为课本相对单一。

只有博览群书、海量阅读古今中外的名著经典，广泛涉猎百科常识书籍，智慧才能不断成长，最终形成一种强大的发展能力。

事实上，小学阶段的成绩具有很大的欺骗性和虚假性，因为孩子把全部时间都投入到课本和作业里去了，自然就没有时间大量读书，而这如同丢了西瓜捡芝麻。

这样的投入即便考了高分哪怕是满分，对孩子的未来而言都是一种巨大的损失。

很多家长在孩子小学阶段很看重孩子的成绩，不舍得孩子花更多的时间去读书和玩，认为是浪费时间。

可是，当孩子如同小苗一般营养不良而缺乏成长力量，到了中学阶段前进乏力时，家长只会抱怨孩子如何如何，却不知道正是自己一手造成了孩子的“短命高分”和“智慧营养不良”。

因此，小学阶段一定要让孩子从一些，不要追求分数的高低。做父母的为了孩子的长久发展和未来更大的成长力量。

请不要过分在意孩子小学阶段的成绩，而应该把目标放在孩子的基础发展和能力培养上，帮助孩子养成良好的阅读习惯，才能真正事半功倍，让孩子受益终生。

讨 ◆ 论 ◆ 区

读万卷书。然后，行万里路......品得出高山流水，咽得下粗茶淡饭......当然是最理想状态。但......起跑线、985、500强......象悬在骡子前的胡萝卜，引着家长们狠心挥鞭赶孩子！！！循环往复无尽头

阅读真的是很重要，我自己就是感觉特别深，当时高中时我在文科班，高二的时候我成绩都挺好的，班里有几个同学一天感觉一直在看课外书，高一高二时成绩也就一般，但是到了高三就不一样了，人家几个每次在讨论问题时，人家就跟开辩论会时的，反正是很多道理，反而我们这些之前学习不错的人比较沉默了，我就属于那种课后不怎么看课外书的，高考前测试，那几个同学就感觉是逆袭了一样，一次比一次考的好，最后高考时人家还考到重点大学了，真的就是这样，所以我现在对我女儿从小就培养她的阅读，现在给她养成了看书的习惯，孩子不管啥时睡的再晚，都会坚持让我和她一起看书，这已经成了一种习惯，有时我累的不想给她讲，她都不行，孩子现在喜欢上了阅读，女儿今年5岁多，现在动不动就说一些词，用的还恰到好处，或者带她去了某处，她自己在那抒发感情，说出一些挺好的句子来，昨天晚上竟然自己作诗一首，虽然一般但是听起来来还挺连贯的，总觉得阅读这个事情真的是很重要

鸡练成的， 鸡叫拆开的意思是鸡的叫声，是代指叫声的，不是指的鸡，所以这个叫声是怎么练成的呢，是鸡练成的鸡叫声