均匀介质中的大地电磁场

2023-02-21 16:34

1个回答

2023-02-21 16:46

假设大地由均匀各向同性介质所组成，现讨论由高空向地球垂直入射的平面电磁波在其中的传播特性，并导出地面电磁场与介质电阻率之间的关系式。

（一）均匀介质中平面波的传播

引入笛卡尔坐标系，令z轴垂直向下，x-y轴位于地表水平面上。我们把麦克斯韦旋度方程（1⁃2⁃1a）和（1⁃2⁃2a）展成分量形式：

▽×E=iωμH

地电场与电法勘探

由于平面电磁波垂直入射于均匀各向同性大地介质中，其电磁场沿水平方向上是均匀的，即

地电场与电法勘探

将它们代入式（1⁃2⁃19）～（1⁃2⁃24）中，有

地电场与电法勘探

H_z=0（2⁃2⁃21a）

地电场与电法勘探

E_z=0（1⁃2⁃24a）

由式（1⁃2⁃19a）～（1⁃2⁃24a）可以看出：电磁场分量E_y只和H_x有关，H_y只和E_x有关，它们都沿z轴传播，物理学中称这种波为线性偏振波。我们以场沿y方向的分量来命名线性偏振波，称E_y-H_x一组为E偏振波，H_y-E_x一组为H偏振波。两组线性偏振波中电磁场之间的关系和相应的波动方程为：

E偏振（E_y-H_x）

地电场与电法勘探

H偏振（H_y-E_x）

地电场与电法勘探

其中：

地电场与电法勘探

而且，两组波中均无场的垂直分量，即

E_z=H_z=0

还应指出，在均匀各向同性质介质中上述两组线性偏振波的分解是任意的，因为我们对坐标轴x和y的方位并未作任何限制。如果我们取坐标y轴沿磁场H的极化方向，即令H_y=H，H_x=0，那么，根据对上述偏振波的分析，必有E=E_x，E_y=0。这就是说，平面波在均匀各向同性介质中，其电场E和磁场H是正交的（E⊥H）。以后我们将会看到，在水平不均匀或非各向同性介质中，偏振波的分解将受到介质电性轴的限制，且介质中电场E和磁场H是不正交的。另外，由于平面电磁波亦称TEM波（横电磁波），我们还把E偏振波称为TE波，H偏振波称为TM波。这些概念和术语以后我们将常用到。

现在我们来讨论波的传播问题。我们以H偏振为例，这时有波动方程（1⁃2⁃27）：

地电场与电法勘探

这是一个常微分方程，其一般解为

H_y=Ae^-kz+Be^kz（1⁃2⁃29）

式中A和B是待定的积分常数，它由边界条件和初始条件来确定。由于在无穷远（z→∞）处场H_y=0，它要求积分常数B=0。于是：

H_y=Ae^-kz（1⁃2⁃30）

当z=0时，有

H_y=H_oye^-iωt=A（1⁃2⁃31）

这里假设H_oy和e^-iωt分别为地面上磁场H的振幅和时间因子。再把传播常数k写成复数形式：

地电场与电法勘探

将式（1⁃2⁃31）和（1⁃2⁃32）代入式（1⁃2⁃30）中，得：

H_y=H_oye^-iωte^iβze^-αz（1⁃2⁃33）

我们知道式中e^-iωt表示任一点的场随时间是谐变的，角频率ω=2π/T表示单位时间内场振动次数（即1/T）的2π倍，周期T是出现相邻两同相点的时间间隔；而e^iβz表示场沿传播方向z是谐变的，βz正表示了随距离谐变的相位，故称β为相位系数；且有β=2π/λ，它表示一个波长（λ）上相位变化了2π弧度，λ小则β大，相位变化快。波长λ是电磁波的一个重要参数，因为它是场的频率和介质的电性参数的函数：

地电场与电法勘探

取μ_r=1，即μ=μ₀=4π×10^-7H/m，并对ρ、T选定单位后，得到便于计算的数值方程：

地电场与电法勘探

另外，式（1⁃2⁃33）中e^-αz表示场振幅沿传播方向z是呈指数衰减的，α为介质的吸收系数，它是传播常数k的实数部分。由上面的推导可知，吸收系数α和传播常数k可以用波长来表示：

地电场与电法勘探

式（1⁃2⁃33）可改写为

地电场与电法勘探

它表示随时间谐变的电磁场在均匀各向同性大地介质中传播时，沿传播方向是谐变的，并且按指数规律衰减。

考虑到介质对电磁波的吸收作用，还须引入穿透深度的概念。穿透深度表示场振幅衰减为地面值的1/e时电磁波所传播的距离。用P来表示穿透深度，有关系式：

地电场与电法勘探

显然，

地电场与电法勘探