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度量空间中的“稠密”定义：
思考题：
这个集合在实数集中稠密吗？
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S4E34. 形形色色的素数：安全素数和索菲·热尔曼素数
S4E33. 数学悬案: abc猜想
S4E32. 欧拉的三十六军官问题
番外篇：嗒宝·宝可梦中的数学问题的解答
S4E31. 桌游中的数学：形色牌(SET)和帽集(Cap Set)问题
听众问答：反证法、AI、概率、悖论等
为什么逻辑严谨的数学允许“大小”这样的形容词？
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大老李聊数学（第三季，已完结）
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S是稠密的
大老李聊数学 回复 @亡牌口香糖: 专业的回答！
是稠密的，设s>0（<0类似，等于0显然）为实数。取m=n+λsqrt(n)，有任意大的正整数n使m为正整数，λ为足够接近且大于2s的有理数，易求得sqrtm-sqrtn在n趋于∞时极限是λ/2，总有足够大的n使sqrtm-sqrtn大于s且与λ/2的差任意小，而总可取有理数λ与2s差任意小。以上说明可以使λ,n变化使sqrtm-sqrtn大于s且与s无穷接近，由此，sqrtm-sqrtn稠密
1599659jpul 回复 @1599659jpul: 极限处证明可有sqrt(n+λsqrtn)-sqrtn=(λsqrtn)/((sqrt(n+λsqrtn)+sqrtn))=λ/(sqrt(1+λsqrtn/n)+1)证明
是稠密的，因为s是整数和无理数，无理数在实数上是稠密的
豆角vip 回复 @豆角vip: 不行，还不如直接证明稠密
豆角vip 回复 @大老李聊数学: 是的。用定义推非常严谨。 题目的这个减法太巧妙了，s不包括所有无理数，但可以无限逼近任意的无理数。
大老李聊数学 回复 @豆角vip: 结论是对的，理由不太充分。你的理由的前提是全体无理数可以写成两个自然数平方根之差，但这显然是做不到的。确切的证明可以看另一位听众的评论。
这不是例子，但在代数几何里，代数簇（irreducible）上的zariski topology非常不一样。首先对于两个点，不存在两个互不相交的开集分别包含两个点。任何开集都是稠密的。在我们熟知的域里（C，R），这并不反直觉，因为zariski拓扑里的开集毕竟就是一组多项式的根的补集，像x^2+y^2=1的补集，感觉上当然是稠密的。但这也是个问题，取任何开集都是稠密的，那就没有“局部”这么一说了，太粗糙了，不能很好的区分“点”。这只是一些模糊的感觉，具体表现为在数学上一些空间的代数不变量对于我们在乎的不同代数簇，给不出有用的信息，算出来都是0。改进方案是有的，但对于没学过的人来说，太玄了
SmokeWeedEveryday 回复 @SmokeWeedEveryday: 哦，搞错了，播客里的稠密是对度量空间定义的。那我讲的例子通通换成R，C上的，zariski拓扑里的开集在度量意义下依旧是稠密的。（不算显然，但应该看起来是合理的）。所有开集都是稠密的这个事情有一些很酷的应用，比如Cayley-Hamilton定理的证明。
S4E26. 无孔不入：数学中的“稠密”
度量空间中的“稠密”定义：
思考题：
这个集合在实数集中稠密吗？
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S是稠密的
大老李聊数学 回复 @亡牌口香糖: 专业的回答！
是稠密的，设s>0（<0类似，等于0显然）为实数。取m=n+λsqrt(n)，有任意大的正整数n使m为正整数，λ为足够接近且大于2s的有理数，易求得sqrtm-sqrtn在n趋于∞时极限是λ/2，总有足够大的n使sqrtm-sqrtn大于s且与λ/2的差任意小，而总可取有理数λ与2s差任意小。以上说明可以使λ,n变化使sqrtm-sqrtn大于s且与s无穷接近，由此，sqrtm-sqrtn稠密
1599659jpul 回复 @1599659jpul: 极限处证明可有sqrt(n+λsqrtn)-sqrtn=(λsqrtn)/((sqrt(n+λsqrtn)+sqrtn))=λ/(sqrt(1+λsqrtn/n)+1)证明
是稠密的，因为s是整数和无理数，无理数在实数上是稠密的
豆角vip 回复 @豆角vip: 不行，还不如直接证明稠密
豆角vip 回复 @大老李聊数学: 是的。用定义推非常严谨。 题目的这个减法太巧妙了，s不包括所有无理数，但可以无限逼近任意的无理数。
大老李聊数学 回复 @豆角vip: 结论是对的，理由不太充分。你的理由的前提是全体无理数可以写成两个自然数平方根之差，但这显然是做不到的。确切的证明可以看另一位听众的评论。
查看全部3条回复这不是例子，但在代数几何里，代数簇（irreducible）上的zariski topology非常不一样。首先对于两个点，不存在两个互不相交的开集分别包含两个点。任何开集都是稠密的。在我们熟知的域里（C，R），这并不反直觉，因为zariski拓扑里的开集毕竟就是一组多项式的根的补集，像x^2+y^2=1的补集，感觉上当然是稠密的。但这也是个问题，取任何开集都是稠密的，那就没有“局部”这么一说了，太粗糙了，不能很好的区分“点”。这只是一些模糊的感觉，具体表现为在数学上一些空间的代数不变量对于我们在乎的不同代数簇，给不出有用的信息，算出来都是0。改进方案是有的，但对于没学过的人来说，太玄了
SmokeWeedEveryday 回复 @SmokeWeedEveryday: 哦，搞错了，播客里的稠密是对度量空间定义的。那我讲的例子通通换成R，C上的，zariski拓扑里的开集在度量意义下依旧是稠密的。（不算显然，但应该看起来是合理的）。所有开集都是稠密的这个事情有一些很酷的应用，比如Cayley-Hamilton定理的证明。
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