科普丨《素数之恋》：拨开黎曼猜想的面纱，领略史诗般数学之谜的魅力

拨开黎曼猜想的面纱，领略史诗般数学之谜的魅力

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精华笔记 

《素数之恋》这本书的副标题是“黎曼和数学中最大的未解之谜”，作者是约翰•德比希尔，美国著名的科普作家。

黎曼何许人也？他如何提出这个让一代代数学家魂牵梦绕的难题？

黎曼生于1826年，死于1866年，终年40岁。黎曼的父亲是一名牧师，父亲本希望黎曼能成为一名牧师，但是黎曼酷爱数学，他说服了父亲，同意让他转到哥廷根大学听数学王子高斯的课程。黎曼有两位导师，先是在柏林学习，师从狄利克雷，后来转到哥廷根，导师是高斯，这两位都是名声显赫的数学大师。

1851年年底，黎曼获得哥廷根大学数学博士学位。3年后，黎曼通过了在哥廷根大学任职必须的论文和演讲要求，获得了“任职资格证书”。

在黎曼的导师高斯和狄利克雷相继去世之后，1859年7月30日，哥廷根大学聘任黎曼担任教授。同年8月，德国科学院任命他为通讯院士，就职通讯院士也需要提交一篇论文和做一次讲演，这次黎曼的论文和演讲题目是《论小于一个给定值的素数的个数》，在这篇论文的第4页，黎曼用轻描淡写的一段话引出了 “黎曼猜想”，定义了黎曼函数。

担任教授以后，黎曼在经济上已经不再拮据，但是身体状况却没有随着经济条件的改善而见好。1866年7月20日，他在去意大利休养的途中于塞拉斯卡去世，死因是当时的绝症肺结核。

黎曼猜想诞生的故事。

黎曼猜想的诞生与三位大数学家有关，首先是高斯提出素数定理。素数也叫做质数，除了1和它本身，不能被其他的自然数整除。

在古希腊数学家欧几里得编写的《原本》这本书中，给出了关于素数的两个奠基性结论：一是“任何一个整数可以唯一地分解成素数的积”；二是“对于任意一个有限素数的集合，总可以找到另一个素数不在这个集合之中”。

第一个结论被称为“算术基本定理”；后一个结论的推论是“存在无穷多个素数”。素数的个数是无限多的，不过在一个区间内，素数的个数是有限的。那么一个区间内的素数究竟有多少呢？人们用Pi(x)表示小于x的素数的个数。曾有人希望能写出Pi(x)精确的解析表达式，但都是无功而返。高斯是第一个做出划时代贡献的人。

高斯被誉为“数学王子”。在大概十五六岁时，高斯就可以在一刻钟时间内找出一千个连续自然数中有多少个素数，一直到数百个一千。他提出了高斯素数定理，那就是

Pi(x)~x/lnx

这个式子给出了小于x的素数的个数的估计。高斯从没有提起过他是否证明了这个定理，至今为止，人们也没有从高斯的遗物中找到与之有关的证明。

在高斯提出素数定理之后，接力者是狄利克雷。

狄利克雷比高斯小28岁，是解析数论的创始人。在对素数定理的证明中，他的最大贡献是找到一把“金钥匙”——欧拉恒等式。

然而，狄利克雷不知道怎么拿这把钥匙去开锁，就把它交给了黎曼，而黎曼在用这把金钥匙解谜的过程中提出了黎曼猜想。

在1859年8月，黎曼向德国科学院递交论文——《论小于一个给定值的素数的个数》，这把“金钥匙”就是论证的起点。在这篇论文里，黎曼给出了证明素数定理的一个逼近。关于这个证明，需要一个假设的前提，黎曼当时有这样一段说明：

当然我希望对此有一个严格的证明，但是我在经历了一些徒劳的尝试之后，将对这个证明的探求放在了一边，因为它对于我当前研究的对象来说并不是必需的。黎曼轻描淡写地“放在了一边”的东西就是至今还没有解出的黎曼猜想。

黎曼猜想就是，黎曼函数的所有非平凡零点实部都是1/2。黎曼函数的表达式：

其中，自变量s为复数。 

让黎曼函数等于零的解称为黎曼函数的零点，所有负偶数都是它的零点，这些零点被称为平凡零点，实部为正的零点则是非平凡零点。

在“黎曼猜想”的前提下，1859年，黎曼试图用金钥匙打开素数定理大门，当然证明是曲折的也是非常精彩的。在黎曼去世后的30年，关于素数定理的研究是沉默的，有人说整个数学界都在消化黎曼的这个证明，而后来证明素数定理的途径也正是沿着这个思路进行的。

名师大家与黎曼猜想的故事。

首先是黎曼自己。黎曼声称为了证明这个问题，“经历了一些徒劳的努力”就“放在了一边”。有人从黎曼的手稿中发现他寻找零点的记录和零点的一些性质，发现黎曼找到了最接近实轴的三个零点的虚部。这些发现说明黎曼确实认真地研究过“黎曼猜想”，不过“徒劳”了。

第二个大咖是杰出的英国数学家哈代。他是英国纯粹数学的领导者，黎曼猜想的忠实粉丝。1920年左右，哈代给朋友寄了一张明信片列出“新年六个心愿”，第一个愿望便是“证明黎曼猜想”。尽管他对黎曼猜想孜孜以求，然而也没能摘得圣果，他关于黎曼猜想的最著名结果是黎曼函数存在无穷多实部为1/2的零点。

第三位名人是希尔伯特。他是黎曼的继任者，担任过哥廷根大学数学学科的教授。1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个问题，这23个问题影响了整整一个世纪的数学研究。其中的第8个问题就是黎曼猜想。在希尔伯特的心目中，解出黎曼猜想是他人生中最期盼的头等大事。有人问希尔伯特，如果他在沉睡千年后醒来，你最想知道的事是什么？希尔伯特回答道，我最想知道黎曼猜想被证明了吗？

最后一定要提及的人是英国人图灵。

从20世纪初开始，黎曼的粉丝们开始去寻找复平面上实部为1/2的黎曼函数零点的分布，这也是黎曼曾经做过的工作。一场找零竞赛开始了。当时是没有计算机的，完全是手工算出来的。

1937年，图灵认为黎曼猜想是不成立的，于是他希望造一台计算机，名字都取好了叫“ζ函数机”，目的是为了找到实部不是1/2的非平凡零点，由此来推翻黎曼猜想。不料1939年英国政府招募他参加破译德军密码的秘密任务，这使得“ζ函数机”半途而废。

二次大战以后，也许图灵不再怀疑黎曼猜想了，他利用计算机的优势投身到寻找黎曼函数零点的大军中，据他在1953年发表的论文，他用曼彻斯特原型计算机找到了1053个黎曼函数的零点，一时拔得头筹。在21世纪初，人们已经通过计算机找到100亿个实部为1/2的黎曼函数的零点。  

黎曼猜想在科学界的跨界关联。

人们找到了黎曼函数的上百亿个零点，而且它们的分布毫无规律可循。于是德国数学家希尔伯特第一个怀疑，它会不会与什么随机现象有关？

希尔伯特的猜想与埃尔米特矩阵有关，又称为共轭对称矩阵。组成埃尔米特矩阵的数都是复数，但是它的特征值又都是实数；对应地，黎曼函数的自变量是复数，它的非平凡零点尽管也是复数，但是实部是固定的1/2，所以等价于实数问题。希尔伯特看出了其中的巧合。

在1910到1920年间，希尔伯特和他的年轻同事波利亚就在多次谈话中提出他们的一个猜想：黎曼函数的非平凡零点的虚部对应着一类埃尔米特矩阵的特征值。这个猜想被称作希尔伯特-波利亚猜想。尽管这个猜想当时没有人重视，但是50年后却有了重要进展。

在万有引力定律中，牛顿给出了两个物体之间引力的公式，那么三个物体之间的作用与运动应该怎么样？这就是“三体问题”，这个问题非常复杂。

原子核内有多个质子和中子，相互吸引又相互排斥，而且都处于不断地运动中，远比三体问题复杂，因此物理学家认为不可能有一个公式可以准确描述原子核内部中子与质子的运动。在这种背景下，20世纪50年代诞生了“统计物理学”。统计物理学中引进一类随机埃尔米特矩阵，来描述这类粒子间的运动。

这一类矩阵的元素非常多，其中的元素又可以组成很多很多的埃尔米特矩阵，物理学家新造了一个名词叫高斯单位系综（Gaussian Unitary Ensemble，GUE）。物理学家主要研究GUE的特征值分布情况，叫做“对关联函数”。

美国人休•蒙哥马利是“对关联形状函数”研究的一个开拓者。当年他在英国剑桥大学的三一学院做研究生，研究的主题是黎曼函数零点的分布规律。1972年，在美国普林斯顿研究院的校园中，他偶遇了三一学院的校友，也是量子动力学的奠基人戴森。戴森指导他去读统计物理学的基础教材，研究“对关联形状”。

1978年，休•蒙哥马利在普林斯顿研究院做了《关于“对关联形状函数”的猜想》报告，听众中有一个来自贝尔实验室的名叫奥德利兹克的年轻人，他正好被指定管理一台最新的克雷-I型超级计算机，于是他就利用计算机每天5小时的空余时间来计算黎曼函数的零点。通过超级计算机的大量计算，奥德利兹克写出论文《论ζ函数零点之间间隔的分布》，论文发表在1987年。经过多次修改与验证，现在已经被称为“蒙哥马利—奥德利兹克定律”了。定律的表述是，黎曼ζ函数相继非平凡零点之间的间隔，在适当正规化后与GUE系综特征值间隔分布在统计意义上一致。

通俗地来说，就是黎曼函数非平凡零点分布的随机性和量子物理中粒子运动的随机性一致。

从数论到量子力学奇妙的”跨界”连接，暗示黎曼猜想的内涵深不可测。

最后，说到黎曼猜想，还有一个绕不开的诡秘谶语。

它是这样说的：对数学大师们留下的猜想要抱有敬畏之心，任何不敬和轻薄都是会有报应的。

作者德比希尔说：“据说无论谁证明了素数定理都能得到永生。”这种说法长期在数学界流传，后来延伸为对有名猜想必须有敬畏之心，赤裸一点就是说对著名猜想妄言轻慢都没有好结果。

1885年，荷兰数学家斯蒂尔切斯声称自己证明了一个比黎曼猜想更强的结果，不过只有结论，没有证明。斯蒂尔切斯于1894年去世，终年28岁。至死没有公布他提及的证明。

第二例子是关于希尔伯特学生的。一天，希尔伯特的学生把一篇声称证明了黎曼假设的论文交给了希尔伯特，希尔伯特仔细研究了论文，对其中深刻的证明极为赞赏，但遗憾的是，他发现了其中一处无力消除的错误。第二年，这个学生去世了。这位学生过早的离世似乎在警醒世人：不要妄议黎曼猜想，除非你真正得到了解答。

最后的例子发生在本书写成之后。迈克尔•阿蒂亚爵士是英国数学家，毕业于剑桥大学三一学院，前英国皇家学会会长，20世纪最伟大的数学家之一。2018年，89岁的阿蒂亚要求出席海德堡大师论坛，并要求在会上发言。会议前3天，阿蒂亚声称证明了黎曼猜想，并将他的证明发布在数学家相互交流的网站上。2018年9月24日，阿蒂亚在会上进行了他的报告。然而，阿蒂亚的反证法没有得到数学家的认同。三个月后，2019年1月11日，迈克尔·阿蒂亚爵士去世。阿蒂亚的去世，使得那个谶语又一次网络走红。

作者约翰•德比希尔说，他在写这本书的时候一直处于惶恐之中，生怕哪天广播里就传来“黎曼猜想已经获解”的消息，这样这本书的题目就不对了。“谢天谢地，终于没有听到这样的消息。”他说道。这本书的英文原版出版于2003年，到今天为止，18年过去了，谜题依然没有被解开，黎曼猜想还将继续吸引着地球上最聪明的头脑。对人类而言，探索本身就存在着巨大的魅力和乐趣。

书           名：素数之恋——伯恩哈德·黎曼和数学中最大的未解之谜

作           者： [美]约翰·德比希尔

主   讲    人：韩正之

主讲人简介：上海交通大学教授、博士生导师

主           播：刘波林

策 划  编 辑：陈聪明

总    编    辑：徐苑