第18讲 例题剖析：如何正确掌握绝对值方程求解？

高考战神 王金战 

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我举几个例子大家看看这个基础的重要性，这个第一个例子，我在这个小黑板上写一下，第一个例子，这个每年这个高考题，一般都考一个绝对值的题，这个我一会儿，绝对值呢，不应该是高考时送分的题，每一次高考出题的时候，都觉得这个题是个送分的题，但是每一次高考呢，这个题目出现的那个得分率，都远远比你想象的要低的多，后来我们就在研究，这个绝对值为什么这个出错，这么容易的题目，为什么出错这么多呢？最后我们总结出了这个根源，根源是什么呢？就是好多同学对绝对值，因为基本概念不明确才出错。来，今天，来在现场的同学，我问你个问题，你自己想。

你知道绝对值的概念吗？我看不着你，我着急啊，也没法跟你对话，来同学们想想，你知道绝对值的定义吗？来你默念一下，默念一波，肯定你想是很多，但是我告诉你，绝对值的定义是在初二的数学课本上有的，但是这个概念呢，一直在高中都大行其道，它的定义就是这样的，绝对值的定义，今天让你涨涨见识，是你初二学的，看看你还能不能记得住。A的绝对值等于，它是一个分段函数，A大于0时等于A，A等于0时等于0，A小于0时，它等于负A，这是绝对值的定义。

结果呢，好多同学他怎么错呢？他就把绝对值怎么理解了？他就理解成A的绝对值等于正负A，把它你要在这样的一个基础上，一做题就错，一做题就错，错你还不知道错在哪儿？所以问渠哪得清如许，为有源头活水来。你只有把这个源头的东西给它搞明白了，在它基础上的题目你才能够轻松了，所以有一句话叫源头渠水清如许，天光云影共徘徊。它要的就是这个效果。那么大家（31：44）这是定义，那么这个绝对值的几何意义是什么，这个几何意义就是距离。

这个绝对值的几何意义就是那个点，A的绝对值就是数轴上的那个点离它原点的距离，叫绝对值，所以A的绝对值一定是大于等于0的，于是人世间有三大著名的非负数，这不就出现一个了，三大著名的非负数，高考经常在这个兴风作浪，出一些让你意想不到的，但是又有茅塞顿开的题目的，三大非负数，一个数的绝对值，是吧？一个实数的平方，然后一个正数的算术根。这三大非负数，这是数学上著名的三大非负数，这不就出现了吗？你看我现在就这个问题，一年一个竞赛题，当然这个竞赛题和高考题的难度差不多，就难到了一批少男少女，我把这个题出出来，你看一看，解一个方程。

来，解这个方程，我们按照传统的方法，如果不去了解绝对值的定义，它这个几何意义，我们一般人会怎么做呢？会要讨论在数轴上，1、2两个，两个零点把数轴分为三段，然后分段讨论，每段上求出一个解来。最后呢，我告诉你，你解出来以后，你会崩溃的，你都不知道是对错的，可能这个概念你已经到位的同学就能算出来，这个方程的解竟然是什么呢？

一个区间，1到2内的所有的实数，都是这个方程的解，你说变态吧？一个方程，我们预想着一个方程的解，一个两个，你看这个点上的题目，是啥玩意儿，一个方程的解竟然是1到2这个必须点内的所有的实数，为什么？大家想想，X-1的绝对值是不是数轴上那个点，数轴上那个点，来，这是1，这是2，你算X-1的绝对值，是不是X的那个点到1的距离。X-2的绝对值是不是数轴上的那个点到2的距离，一个点到1的距离加上到2的距离，正好等于1。

你说是不是这个里面任何一个数都符合，所以它的答案就是1到2内的所有的实数。你说你这个题你要不理解一点，不能正确理解概念，用这个死劲去做的话，它让你痛不欲生，你竟然也不知道这个题目的对错。

基本概念，杀伤力就是基础这么强，所以，基础不牢，地动山摇，问题就在这儿，我再折磨一下你，我有了这个做铺垫，我再出个更难的题目，你会在一秒钟内，就能找出答案来，来再看这个题，这个X-1的绝对值加X-2的绝对值要是等于2呢？解这个方程。我想大家会脱口而出的，虽然是个很难的题，但脱口而出，两个点，一个是0.5，一个是2.5。对吧？所以这个方程的解就是0.5到2.5。

我再出一个变态的题目你看，要是把2改成个，等于1/2呢？这个题就更糟蹋人了，太阴险狡诈了，X-1的绝对值加X-2的绝对值等于1/2，同学们想想数轴上一个点到1的距离，加上到2的距离等于1/2，人世间这个数是不存在的，所以此题无解，你不去看这些东西，你昏天黑地的光去按照那种传统的办法，分段讨论，你是把你累的头昏脑胀，最后结果你都不知道对错了，这就是基础概念的重要性，我这举一个例子。