粉丝福利
严伯钧的硬派科普秀交流群来啦,跟着严老师一起聊聊科普、了解物理界新动向、第一时间get严老师的活动消息,还有不定期的社群活动福利哦。
入群方式
微信添加yan_bojun,并回复:科普秀,我们将会邀请你入群。
欢迎每一位在听《严伯钧的硬派科普秀》的你的到来。
精华笔记
历史上天妒英才最典型的案例,当属伽罗瓦。伽罗瓦是群论的发明人,19岁提出了群论的观点,可谓是划时代的贡献,但21岁就死于跟情敌的决斗。
| 伽罗瓦(1811-1832)
一、等边三角形的操作
1. 先来看一个等边三角形的对称性。让一个等边三角形绕中心点旋转120度、240度或360度(也就是0度),都可以回到原来的状态;
| 等边三角形的旋转对称性
2. 如果只考虑转动的话,这三种旋转方式是让等边三角形不变的三个仅有的操作。因为其他同样具有对称性的操作,例如转480度、600度或720度,本质上是一样的;
二、什么是群?
3. 等边三角形的三个旋转操作就组成了一个群。一个群首先是一个集合,里面包含若干个元素,元素的数目可以是有限,也可以是无限的。并且元素不局限于数字,它可以是任何有明确定义的东西。比如上述的三个对称性操作,就是这个群里的三个元素。在元素的基础上,还要定义元素间的相互作用,任意的元素相互作用出来,会给出一个新的元素,这个新元素也必须包含在集合里;
4. 除此之外,集合里必须要有一个基本元素。基本元素和任何一个元素相互作用,都必须等于这个元素自身。并且集合里任意一个元素,必须要有一个逆元素,使得这个元素和它的逆元素相互作用,会得到基本元素。满足这些条件,我们就说这个集合是在这种操作下的一个群;
5. 等边三角形的对称性操作群,很显然都满足上面的条件。我们可以把两个元素的相互作用定义为先旋转一个角度,再旋转第二个角度。这个群里的基本元素就是转360度,很显然,转360度之后再转一个其它角度,就等于这个角度自身。其次,先后旋转任意两个角度会得到一个新的角度,比如先转120度再转240度,就会得到360度,还是落在这三个操作的集合里。最后,任意一个操作,都能找到另外一个操作,使得这两个操作结合以后,等于转360度,比如转240度就是转120度的逆元素;
6. 其他群的例子还有很多。比如所有整数的加法群,0是基本元素,任意一个正数和它的相反数互为逆元素。再比如所有正数的乘法群,1是基本元素,任意一个正数和它的倒数互为逆元素;
三、群论有什么用?
7. 群论听上去很抽象,实际当中有什么用呢?群论一定程度上揭示了形而上的道。对于任何一个具象的集合,集合里的元素是具体的,但是它们之间的关系是普适的。比如一个球的旋转对称群,它在操作上跟一类群是完全等价的,这就对研究实际问题很有帮助;
8. 所以群论可以证明很多看似跟这个领域毫不相关的问题。比如五次方程没有求根公式这个结论,看似是一个数学分析问题,却是用群论的方法证明的。用尺规作图无法三等分一个角,看似是一个几何问题,也是被群论证明的;
9. 群论背后的数学领域叫抽象代数,它不关注事物的形态,只关注事物的本质,以及事物之间的关系。
为啥多数人看不懂伽罗瓦的群论?
严伯钧 回复 @13803360ipl: 哈哈 需要记忆很多群的条件。
严老师,为什么很多手机自带的以及第三方的天气预报APP的天气信息都不一样。厂家的天气信息不都是来自气象台的嘛。又不是各家自己测的。
严伯钧 回复 @粘牙的糖: 这个问题我还没研究过,可能来自不同的气象台吧。
听懂了
严伯钧 回复 @浩_ar:
对群这个概念像九九乘法表一样熟练运用那就厉害了。
严伯钧 回复 @谁是恩和d膜: 是的 一种很厉害的思维方式。
这个单元对我这个没学过高数又毕业很久的纯文科生来说就是天书
严伯钧 回复 @一切到此: 最后几集应该能听懂,而且很有意思。
好端端的去跟情敌决斗!
太抽象了
图是不是放错了这是阿贝尔吧
严伯钧 回复 @陈默_zz: 确实,感谢反馈。
伽罗瓦证伪了一些数学难题
严伯钧 回复 @东成西就73: 是个神人,可惜了。