【数学】智商高到没朋友，伽罗瓦和他的群论

粉丝福利 

严伯钧的硬派科普秀交流群来啦，跟着严老师一起聊聊科普、了解物理界新动向、第一时间get严老师的活动消息，还有不定期的社群活动福利哦。

入群方式

微信添加yan_bojun，并回复：科普秀，我们将会邀请你入群。

欢迎每一位在听《严伯钧的硬派科普秀》的你的到来。

精华笔记

历史上天妒英才最典型的案例，当属伽罗瓦。伽罗瓦是群论的发明人，19岁提出了群论的观点，可谓是划时代的贡献，但21岁就死于跟情敌的决斗。

| 伽罗瓦（1811-1832）

一、等边三角形的操作
1. 先来看一个等边三角形的对称性。让一个等边三角形绕中心点旋转120度、240度或360度（也就是0度），都可以回到原来的状态；

| 等边三角形的旋转对称性

2. 如果只考虑转动的话，这三种旋转方式是让等边三角形不变的三个仅有的操作。因为其他同样具有对称性的操作，例如转480度、600度或720度，本质上是一样的；

二、什么是群？
3. 等边三角形的三个旋转操作就组成了一个群。一个群首先是一个集合，里面包含若干个元素，元素的数目可以是有限，也可以是无限的。并且元素不局限于数字，它可以是任何有明确定义的东西。比如上述的三个对称性操作，就是这个群里的三个元素。在元素的基础上，还要定义元素间的相互作用，任意的元素相互作用出来，会给出一个新的元素，这个新元素也必须包含在集合里；

4. 除此之外，集合里必须要有一个基本元素。基本元素和任何一个元素相互作用，都必须等于这个元素自身。并且集合里任意一个元素，必须要有一个逆元素，使得这个元素和它的逆元素相互作用，会得到基本元素。满足这些条件，我们就说这个集合是在这种操作下的一个群；

5. 等边三角形的对称性操作群，很显然都满足上面的条件。我们可以把两个元素的相互作用定义为先旋转一个角度，再旋转第二个角度。这个群里的基本元素就是转360度，很显然，转360度之后再转一个其它角度，就等于这个角度自身。其次，先后旋转任意两个角度会得到一个新的角度，比如先转120度再转240度，就会得到360度，还是落在这三个操作的集合里。最后，任意一个操作，都能找到另外一个操作，使得这两个操作结合以后，等于转360度，比如转240度就是转120度的逆元素；

6. 其他群的例子还有很多。比如所有整数的加法群，0是基本元素，任意一个正数和它的相反数互为逆元素。再比如所有正数的乘法群，1是基本元素，任意一个正数和它的倒数互为逆元素；

三、群论有什么用？
7. 群论听上去很抽象，实际当中有什么用呢？群论一定程度上揭示了形而上的道。对于任何一个具象的集合，集合里的元素是具体的，但是它们之间的关系是普适的。比如一个球的旋转对称群，它在操作上跟一类群是完全等价的，这就对研究实际问题很有帮助；

8. 所以群论可以证明很多看似跟这个领域毫不相关的问题。比如五次方程没有求根公式这个结论，看似是一个数学分析问题，却是用群论的方法证明的。用尺规作图无法三等分一个角，看似是一个几何问题，也是被群论证明的；

9. 群论背后的数学领域叫抽象代数，它不关注事物的形态，只关注事物的本质，以及事物之间的关系。