【数学】就要在意这些细节，严谨过头的数学分析

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精华笔记

数学分析是数学的一个重要研究领域，也是数学系大学生第一门重要的基础课。

一、数学分析是用来做什么的？
1. 微积分是非常实用的数学工具，但是其中很多操作并没有严格的证明过程。物理学的研究通常也是实用主义的，因为有实验验证的环节来把守最后的大门；

2. 而数学不存在实验验证，纯粹靠的是演绎和逻辑，所以必须每一步都很严谨。比如一个函数1/(1-x)，当x很小的时候，它就约等于1+x，这是可以用数字来验证的。但是要证明这个结论，就需要繁琐的推导过程；

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3. 这时候就要用到数学分析。简单来说，数学分析的第一步，是给微积分查漏补缺，让所有操作都符合规范；

二、物理学和数学
4. 物理学的任务是解释自然现象，但是真实的现象通常都很复杂，这就需要物理学来建模，用一个能够解出来的模型去描述实际现象，这当中涉及到大量作近似的过程。作近似是物理学的一大方法论，一个模型差不多是对的，我们能够预估跟实际相差不大，就可以直接使用；

5. 而数学分析的作用就是让你有能够做近似的理论依据。例如路径积分，费曼发明路径积分以来，物理学家已经用了几十年；

6. 但是在数学分析看来，路径积分是一个包含无限个自变量的积分，这在数学上是定义不清的；

三、极限的定义
7. 比如说函数1/(1-x)，当x趋向于0的时候，这个函数趋向于1，这是显而易见的。但是对于极限的定义，数学分析的语言没有这么简单；

| 极限的数学定义

8. 这个定义要怎么理解呢？要f(x)在x趋向于某一点的时候有极限A，也就是不管你想多接近A，都可以找到一个x的值，让f(x)与A的差距在限定的范围内；

9. 这种说法很难理解，但却是最严谨的表达。所以数学分析是很艰深的学科，至今都是一个主流的数学领域。