3.11 为什么几何学、代数与哲学紧密相关？

我们讲了西方哲学，或者说西方哲学开端的古希腊哲学，它在思绪上，在思维方式上的底蕴及其概况。大家回想，这个哲学的底蕴和思绪的发展，是不是必然导出科学？想想质料论这一脉的追究和逻辑形式论这一脉的追究，这两者的结合是不是今天科学活动的基本思维方式和追究方式。那么即使在古希腊时代，科学在亚里士多德之前表达为博物学，也就是没有分科，各学科荟萃在一起。但古希腊的博物学和自然哲学是一回事。

而博物学作为科学的前提，它的基本方式在希腊哲学中已经逐步导出。那么我们下面就看看哲学思维怎样导出科学思维？哲科思维的基础怎样形成？从泰勒斯追问万物的本原，米利都学派一直追问下去，到毕达哥拉斯提出数论形式系统是世界的本原。我早上讲过，所谓数论形式系统，是指精密逻辑自成的那个系统，跟对象没有任何关系。再加上柏拉图转型及其理念论的形成，我在这里稍微解释一下，柏拉图转型，我反复提这个字是因为柏拉图作为苏格拉底的弟子，苏格拉底除了比较关注思维追究以外，他的相当一部分精力关注在社会问题。

那么柏拉图最重要的著作《理想国》，它的整个探讨也偏重于这个方面。但是我讲过，毕达哥拉斯逝世以后，由于毕达哥拉斯主政克罗顿，所以在政争中毕达哥拉斯被杀，他的学团兴散，其中有一部分学生流落到雅典。这个时候柏拉图遇到的毕达格拉斯学派的思想。这使得柏拉图大为吃惊，他这个时候才知道，在意大利半岛上古希腊的西面，曾经有过一脉精密逻辑纯数理探讨世界本原的思绪。于是柏拉图发生思想形态的重大转变。这就是柏拉图学园门口开始出现“不懂几何学、不懂数学者不得入内”的那个点，也就是柏拉图《蒂迈欧篇》为代表的那些著作。

那么柏拉图承接了毕达哥拉斯学派精密数论逻辑的系统，提出理念论，明确把理念论提出，成为科学思想方式和追究深在本质的重要思路导向。这就是为什么到近代西方出一个著名哲学家叫怀特海，他曾经说一句话，整个西方哲学和科学的发展过程，实际上只不过是给柏拉图思想所做的注脚这句话的含义。那么柏拉图的学生亚里士多德，他又往前进了一步，亚里士多德转变了原来事物的本体在假象后面的说法，提出实体论。所谓“实体论”就是前面所谓假象的这个世界，是后面理念的实体表达，你不能完全看空它，你得通过对它的追究才能找见本体。

亚里士多德的这个重要转型使得整个哲学向着对象实在的研究，目光开始转进，而且亚里士多德还有一个重大贡献，他是分科之学的开端。我们知道所谓“科学”就是博物学或者自然哲学分科化，我们把这个分科之学简称“科学”。那么到亚里士多德，他从实体论角度探讨分科之学，他当时已经分科物理学，包括第一物理学、第二物理学、形而上学、生物学、政治学、伦理学……居然达19门之多，分科之学由此出现起点，科学的表达方式由此成为一个开端。

那么亚里士多德也有很多失误，他出现了一个重大的倒退。就是他对从毕达哥拉斯到柏拉图追究数理精密逻辑方面的一个忽视，但是他用形式逻辑对它做了相当好的补充。而且你读亚里士多德的分科讨论，你会发现它出现大量错误，可这个错误一点都不重要，因为这个思路才是最重要的。大家知道伽利略提出自由落体的这个实验，并且得出定律，其实跟亚里士多德当年的一个错误讨论有关，也就是亚里士多德早在两千三百、四百年前，他就已经讨论了关于自由落体的问题。他认为轻的东西一定下落地速度慢，重的东西一定下落地速度快。

尽管这不符合常识，尽管这个后来被证明是错误的，但我想问，除了在古希腊有哪个地方还讨论过这个问题，中国人古代的时候会去讨论关于自由落体的问题吗，也就是说问题不在于讨论得对还是错，而在于你是不是有这一个视角和思路，它是不是成为一个问题聚焦点，这才是关键。由此才会有后项的引申。再往后欧几里得几何学出现。我前面讲过欧几里得几何学，只不过是对柏拉图理念论作证，纯粹是一个哲学探讨。我们今天看数学几何学，认为它是科学的工具，别搞错，它是哲学的锻造。

大家知道发展到欧几里得，他把精密逻辑已经做到这样的极致，它有世界上不存在的抽象的点、线、面。我讲世界上不存在抽象的点、线、面，你能找一个粉笔点、一个苍蝇点，你能找见一个抽象的点吗？你能找见一个丝线、桌子边缘线，你能找见一个抽象的线吗？你能找见桌面、地面、床面，你能找见一个抽象的面吗？欧几里得居然用这些抽象的东西，然后在他著作《几何原本》，请注意这个书的原名不叫《几何原本》，然后在他的这个书最开篇，给了五条公设、五条公理和23项定义。

我先说他的定义。他说什么叫点？没有部分的那个东西叫点。他说什么叫线？只有长度而没有宽度叫线。他先给这样的定义，诸如此类23项，然后提五条公设，“建设”的“设”，五条公理。今天我们把公设、公理通称“公理”，也叫“公理系统”。这是今天任何一个严谨的逻辑工程必用的方式，叫“公理系统方式”。就是从欧几里得开端。大家看看他的公设和公理，我举他公设的两条，他说“两点之间可以作一条直线”，第二公设是“任意直线可以无限延长”，也就是他从最简单已经不证而自明的那个最简单的点开始，居然推导出随后48项定理，再结合五公设、五公理和48项定理，推导出476项命题，完成整个平面几何13卷。

后人几乎再加不进去任何一条定理，其逻辑严谨程度令人乍舌。大家注意，后来从笛卡尔到斯宾诺莎，到牛顿，到爱因斯坦，到罗素，所有这些人的哲科启蒙，居然都是在少年时代读了欧几里得的《几何原本》而大受冲击开端的。因此欧几里得的几何学奠定了理念论和精密逻辑的整个推导思维系统的模型。大家再看，随后在古希腊时代科学已经展现，比如阿基米德，他在精密逻辑上求证了几何体表面积和体积的计算方式，推导出浮力定理和杠杆原理。

这是古希腊时代的人，他讨论的问题已经完全跟近代科学讨论的前提问题一致。然后到托勒密，大家知道托勒密的地心说，我们今天视为笑谈。可你要知道，它当年是一个巨大的精密逻辑工程，阿拉伯人把它翻译为《天文学大全》，这个名字是不对的，希腊原文叫《数学汇编十三卷》，也就是托勒密当年把整个天体运动分成多层天轮，进行精确数学与数学计算，建立了精密的地心说天文体系，影响西方长达1400年，其精确程度几乎在大多数情况下能预测月食、日食，这是西方天文学乃至自然科学的明确启动。