平行线的定义:平行线一定要在同一平面内定义,不适用于立体几何,比如异面直线,不相交,也不平行。
平行线的性质:1、几何中,在同一平面内,永不相交(也永不重合)的两条直线(line)叫做平行线(parallel lines)。
2、平行线公理是几何中的重要概念。欧氏几何的平行公理,可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”,则可以作为欧氏几何平行公理的替代,而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。
3、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。如若a∥b,b∥c,则a∥c。
线性无关,就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。在线性代数里,向量空间的一组元素称为线性无关(或称线性无关),如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合,反之称为线性相关。
用式子表示,如果一个量(通常是向量、矩阵或者其它形式)可以表达为其它已知量的线性组合的话,可以写成X=A1X1+A2X2+A3X3+……+ANXN的话,那这个量就与其它已知量之间就是线性相关的,反之就是线性无关的。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。
在线性代数中,一般来说,在N维的空间中,线性无关的最大数是N,第N+1个向量肯定能用前N个向量的线性方程来表示的。
平行线的性质:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。可以根据平行得到角的关系,反过来也可以利用角相等或互补来判定平行。
判定平行线:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行。
定义的拓展
在欧氏几何中,在两条平行线中做一条直线AB,以直线AB为半径以逆时针方向做圆,然后以直线AB为半径以顺时针方向再做一个圆,从两个圆的交点做垂线CD垂直于直线AB,若CD与AB的角的角度是90度,则说明两条平行线不会相交。
但欧几里得不敢思考当两条平行线无限长时的情况.....
于是包括罗素、黎曼在内的科学家假设当两条平行线无限长时,他们会在无穷远处相交。后来,非欧几何和黎曼空间就诞生了,该成果给了爱因斯坦很大的启发.
平行线公理就是区分欧氏几何与非欧几何的一个重要区别。