。
具体来说,记这个期望是 ,则明显 ,其中 表示 的约数个数。考虑约数个数的意义并更换一下求和的次序,可以得到 ,其本质是从枚举约数改为枚举倍数。而显然 ,因此 。
还有一种刚刚想到的更好理解的解释。因为期望有线性性,所以我们只需考虑每个数是你选出的数的约数的概率即可。而 整除你选出的数的概率显然是 ,求个和就能得到一样的结论。
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《范式之约》文言文翻译如下:
范式字巨卿,年轻时在太学求学,和汝南人张劭是好朋友。张劭字元伯。两个人一起请假回到家乡。范式对张劭说:“两年以后应当返回,我将拜访你的父母大人。”于是一起约定了见面的日期。
后来约定的日期就要到了,张劭把这件事全部向母亲说了,请母亲准备酒食来等候范式。母亲说:“两年前分别,约定在千里之外见面,你何必这么认真地相信呢?”张劭说:“范式是一个讲信用的人,一定不会违背约定。”
母亲说:“如果这样,我应当为你酿酒。”到了约定的那一天,范式果然来到,二人一起登上大厅拜见饮酒,尽情欢饮,然后分别。
简介:
“范式之约”的典故出自《后汉书.范式传》,在后来的冯梦龙小说《喻世明言》中,也有一篇“范巨卿鸡黍死生交”讲述这个故事。
后世有许多歌颂“范式之约”的诗词,“千里途遥,隔年期远,片首相许心无变。宁将信义托游魂,堂中鸡黍空劳劝。月暗灯昏,泪痕如线,死生虽隔情何限。灵輀若候故人来,黄泉一笑重相见。”