算式约分

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具体来说，记这个期望是 ，则明显 ，其中 表示 的约数个数。考虑约数个数的意义并更换一下求和的次序，可以得到 ，其本质是从枚举约数改为枚举倍数。而显然 ，因此 。

还有一种刚刚想到的更好理解的解释。因为期望有线性性，所以我们只需考虑每个数是你选出的数的约数的概率即可。而 整除你选出的数的概率显然是 ，求个和就能得到一样的结论。

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《范式之约》文言文翻译如下：

范式字巨卿，年轻时在太学求学，和汝南人张劭是好朋友。张劭字元伯。两个人一起请假回到家乡。范式对张劭说：“两年以后应当返回，我将拜访你的父母大人。”于是一起约定了见面的日期。

后来约定的日期就要到了，张劭把这件事全部向母亲说了，请母亲准备酒食来等候范式。母亲说：“两年前分别，约定在千里之外见面，你何必这么认真地相信呢？”张劭说：“范式是一个讲信用的人，一定不会违背约定。”

母亲说：“如果这样，我应当为你酿酒。”到了约定的那一天，范式果然来到，二人一起登上大厅拜见饮酒，尽情欢饮，然后分别。

简介：

“范式之约”的典故出自《后汉书．范式传》，在后来的冯梦龙小说《喻世明言》中，也有一篇“范巨卿鸡黍死生交”讲述这个故事。

后世有许多歌颂“范式之约”的诗词，“千里途遥，隔年期远，片首相许心无变。宁将信义托游魂，堂中鸡黍空劳劝。月暗灯昏，泪痕如线，死生虽隔情何限。灵輀若候故人来，黄泉一笑重相见。”