映射f:D→Y,对于x1,x2∈D,x1≠x2推出f(x1)≠f(x2),则是单射;对于对于Y中任意一个元素都有原像与之对应,即是满射。如果既是满射又单射,就是一一映射。
在判别某一种想法在应用能否双向的找到某一唯一对应的事物,理论上通常要判断这种想法是否满足双射的关系。
因为具体的实施这一想法的途径我们是并不知道的,所以需要抽象出他们的关系,找到这个双射,如果找不到,并且验证这个双射不存在,那么想法是不可能实现的。
扩展资料:
由整数集合至的函数succ,其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1,及另一函数sumdif,其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x+y,xy)。
一双射函数亦称为置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为XY。
若 X和 Y为有限集合,则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实,在公理集合论里,这正是“相同元素个数”的定义,且广义化至无限集合,并导致了基数的概念,用以分辨无限集合的不同大小。
映射f:D→Y,对于x1,x2∈D,x1≠x2推出f(x1)≠f(x2),则是单射;对于对于Y中任意一个元素都有原像与之对应,即是满射。如果既是满射又单射,就是一一映射。
在判别某一种想法在应用能否双向的找到某一唯一对应的事物,理论上通常要判断这种想法是否满足双射的关系。
因为具体的实施这一想法的途径我们是并不知道的,所以需要抽象出他们的关系,找到这个双射,如果找不到,并且验证这个双射不存在,那么想法是不可能实现的。
扩展资料:
由整数集合至的函数succ,其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1,及另一函数sumdif,其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x+y,xy)。
一双射函数亦称为置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为XY。
若 X和 Y为有限集合,则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实,在公理集合论里,这正是“相同元素个数”的定义,且广义化至无限集合,并导致了基数的概念,用以分辨无限集合的不同大小。
2.2.3.1 映射、一一映射与连续映射
设{X,τ1}与{X,τ2}是两个拓扑空间,F:X→Y是定义在两个拓扑空间的映射,如果每个Y中包含F(x0)的邻域N(F(x0))的原像包含X中含有x0的一个邻域N(x0),则映射F在x0∈X处连续。如果映射F在X的每个点连续,则F在X上连续。
如果对于任意x∈X,有且仅有一个F(x)∈Y,则F:X→Y为一一映射,而且,存在逆映射F-:Y→X也是一一映射。
设{X,τ1}与{Y,τ2}是两个拓扑空间,对于映射F:X→Y,下列命题是等价的:
(1)F在X上连续;
(2)Y中每个开集的原像是X中的开集;
(3)Y中每个闭集的原像是X中的闭集;
(4)对于每个A?X,A的补集的映射属于A的映射的补。
设{X,τ}、{Y,τ2}和{Z,τ3}是拓扑空间,映射F:X→Y与G:Y→Z都是连续映射,则复合映射H=GF:X→Z是连续映射。
2.2.3.2 同胚与嵌入
设{X,τ1}与{Y,2}是两个拓扑空间,F:X→Y是定义在两个拓扑空间的映射,如果F是连续的一一映射,则存在逆映射F-:Y→X,如果F-:Y→X也是连续的,则:
(1)F为一个同胚(或拓扑变换),且拓扑空间{X,τ1}同胚于{Y,2};
(2)对于集合AX,存在映射F(A)Y,则称A与F(A)是同胚的或拓扑等价的;
(3)F又称为嵌入,并称X可嵌入Y中。
在同胚下保持不变的性质称为拓扑性质(或拓扑不变量)。拓扑不变量可以是空间的某种特性(如连通性、紧致性),也可以是某个数值(如欧拉数)。
2.2.3.3 局部拓扑维数
设{X,τ}为一个拓扑空间,AX是X的子集。对于A内部任意点 ,至少存在一个邻域N(x),使得N(x)∩A同胚于一个n维开球,此时n所能取的最大值即为定义在点 上的局部拓扑维数d(x)=n。
在三维空间中,AR3,则:
(1)当A为一个点时, 的局部拓扑维数为0;
(2)当A为一条曲线时,曲线上任意点 的局部拓扑维数为1;
图2.2 局部拓扑维数示例
(3)当A为一张曲面时,曲面上任意点 的局部拓扑维数为2;
(4)当A为一个体时,体上任意点 的局部拓扑维数为3。
局部拓扑维数并不是总能确定的。如图2.2所示,在三维空间中,A由两张相交平面组成,A上不位于两平面交线上的内部点(如x1、x2、x3)的局部拓扑维数为2,交线上任意点(如x4)的领域与A的交集不同胚于任何一个n维开球,所以,其局部拓扑维数是不确定的。