五大圆幂定理如下森嫌蠢:
定理内容:过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B(可重合,即切线),L2与圆交于C、D(可重合,即切线),则有PA×PB=PC×PD 。考虑经过P点与圆心O的直线,设PO交⊙O于M、N,R为圆的半径,则有PA×PB=PC×PD=PM×PN=(OP+R)│OP-R│=│OP²-R²│。
圆幂定理是一个总结性的定理,是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论的统一与归纳。根据两条与圆有相交关系的线的位置不同,有以下定理:
1、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
3、割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B;C、D,则有PA·PB=PC·PD。
从上述定理可以看出,两条线的位置从内到外,都有着相似的结论。经过总结和归纳,便得出了圆幂定理。
圆幂定理证明:
相交弦定理。如图,AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知:∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以 △PAD∽△PCB。所以有:PA/PC=PD/PB,即:PA×PB=PC×PD 。
割线定理。如图,连接AD、BC。可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有△PAD∽△PCB,同上证得 PA×PB=PC×PD。
切割线定理。如图,连接AC、此陪AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PAC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有△PAC∽△PDA ,易证PA²=PC×PD。者升
PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=直角,在直角三角形中:OC=OA=R,PO为公共边,因此 △PAO≌△PCO。所以PA=PC,所以 PA²=PC²。
综上可知,PA×PB=PC×PD 是普遍成立的。证明完毕。
圆幂=PO^2-R^2(称为P点对圆O的幂)
所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零。
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B;C、D,则有 PA·PB=PC·PD。
统一归纳:过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B(可重合,即切线),L2与圆交于C、D(可重合),则有PA·PB=PC·PD。
图Ⅰ:相交弦定理。如图,AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知:∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以 。所以有: ,即: 。
图Ⅱ:割线定理。如图,连接AD、BC。可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有
,同上证得 。
图Ⅲ:切割线定理。如图,连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有 ,易证
图Ⅳ:PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中:OC=OA=R,PO为公共边,因此 。所以PA=PC,所以 。
综上可知, 是普遍成立的。
圆幂定理是一个总结性的定理,是对相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及它们推论的统一与归纳。 根据两条与圆有相交关系的线的位置不同,有以下定理: 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B;C、D,则有PA·PB=PC·PD 从上述定理可以看出,两条线的位置从内到外,都有着相似的结论。经过总结和归纳,便得出了圆幂定理。