1、含绝对值函数,出现尖点的。
如y=|x^2-2x|,在x=0,x=2处不可导,出现角点的。
2、如y=|x|,在x=0处不可导2分段函数在分界点曲线发生突变的(包括尖点、角点);
3、个别幂函数,出现尖点的,如y=x^(2/3),在x=0处不可导。
若函数f(x)在x1处可导,则必在点x1处连续。上述定理说明:函数可导则函数连续;函数连续不一定可导;不连续的函数一定不可导。
扩展资料
x的三分之一次幂在x=0处不可导,是因为x的三分之一次幂在x=0处虽然有切线,但是切线垂直于x轴。
|x|在x=0点处不可导,是因为|x|在x=0点处没有切线,可不能认为|x|在x=0点处有两条切线,一条为y=x,另一条为y=-x,从左右两边各算出或画出两条不相同的“切线”,就是说在这点没切线。
切线都不存在,当然切线的斜率也就不存在了,那么导数也就不存在了。
例子:f(x)=|X|。这个函数在x=0点处连续,但是这个函数在x=0点处的左导数为-1,右导数为1,左右导数不相等,所以这个函数在x=0这点不可导。
左导数和右导数存在且“相等”,才是函数在该点可导的充要条件,不是左极限=右极限(左右极限都存在),连续是函数的取值,可导是函数的变化率,当然可导是更高一个层次。
导函数
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零),那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减),这种区间也称为函数的单调区间,导函数等于零的点称为函数的驻点,在这类点上函数可能会取得极大值或极小值(即极值可疑点)。
进一步判断则需要知道导函数在附近的符号,对于满足的一点,如果存在使得在之前区间上都大于等于零,而在之后区间上都小于等于零,那么是一个极大值点,反之则为极小值点。
例子:Y=|X|。
它是连续的对其求导,当X大于等于0时,它的导数是一 则X大于等于0上的每一点的斜率都应该为一 但在X等于0这一点,它的斜率为0 (不为一),所以连续的不一定可导。
1、函数可导的充要条件:函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。
2、函数可导与连续的关系:定理:若函数f(x)在x1处可导,则必在点x1处连续。上述定理说明:函数可导则函数连续;函数连续不一定可导;不连续的函数一定不可导。
函数可导的条件:
如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数不是在定义域上处处可导。函数在定义域中一点可导需要一定的条件:函数在该点的左右导数存在且相等,不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等,并且在该点连续,才能证明该点可导。
可导的函数一定连续;连续的函数不一定可导,不连续的函数一定不可导。