105期 你不知道你知道的方法——贝叶斯方法（下）

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文稿

案例一

波斯纳在他的著作《法官是如何思考的》的案例

说真话用H来代表。那在证人正式作证以前，波斯纳法官会首先有一个对证人说真话的概率的初步判断，也就是大胆假设小心求证的第一步，大胆假设出一个概率P（H）。这个P（H）就叫做先验概率。也有翻译成事先概率的，但是呢，有时候证人也未必说真话吧，我们用~H表示证人说假话。那说假话的概率就是P（~H）。

于是呢就有了P(~H)=1-P(H)

某个待证明的事项，我们计作E

王婆讲假话就是~ H

如果将真话推出E的概率就是P (E| H ) ，那如果将假话能推出E的概率就是P (E| ~ H )

当然，因为证人不一定会讲真话，我们可能就需要有结论去反过来推导或者去验证证人说的H。这个情况就后验概率，记为 P (H| E )

现在求后验概率的公式为：

P(H|E)= P(E|H)*P(H)/[P(E|H)*P(H)+P(E|~ H)P(~ H)]

好，我们现在用波斯纳法官的数值，把数据带入公式，

(一)假定一名法官看到证人王婆时，法官知道王婆跟金莲门庆有巨大的关系，于是产生的先验概率P(H)=0.25，就是法官觉得王婆真话的概率为25%。

于是 H 为假的先 验 概 率 P (~ H )= 1 - P (H )= 0 .75 也就是75%讲假话。

 (二 ) 假设知道在证人王婆讲真话 (H为真)的条件下，观察到结论E的条件概率P(E|H)=0.6; 说白了，如果王婆讲的是真话，那武松杀人的概率就增加到了60%

如果王婆讲假话(假设H为假)的条件下，观察到结论E的条件概率为 P(E|~H)=0.3。[注意，P(E|~H)通常不等于1-P(E|H)。不是说王婆讲的是假话的话，这武松就完全没杀人可能性了] 。

( 三 ) 将 这 些 数 值 代入贝叶斯公式(1)，可以得到在有证人证言 E 的条件下，证人讲真话的后验概率 P(H|E):

P(H|E)= 0.6*0.25/(0.6*0.25+0.3*0.75)= 0.4       

换言之，在听了王婆的证言后，法官断定证人王婆讲真话的概率不到50%。

但是呢，假定审理这个案件的是另一位法官。他不知道王婆和金莲门庆的关系，就以为是个普通老太太，他认为王婆讲真话的先验概率是P(H)=0.67，那讲假话的概率就是 P(~H)=1-P(H)=0.33。

其他数据也一样，也认为 P(E|H)=0.6，P(E|~H)=0.3，

我们再次按照贝叶斯公式，计算的结果却是:

P(H|E)= 0.6*0.67/(0.6*0.67+0.3*0.33)= 0.8 王婆讲真话的概率就变成了80%。这结果就完全不一样。

案例二

T =“检测为一个人在说谎” , L =“一个人真正在说谎” 。根据经验 , P(T|L)=0 .88 , P(~T|~L ) =0 .86

设 P(L) =0 .01 

P(T)=P(L)P(T|L)+P(~L )P(~T|~L) =0 .01 ×0 .88 +0 .99 ×0 .14 =0 .1474

最后再求P(L|T)=P(L)P(T|L)/ P(T) =0 .01 ×0 .88/ 0 .1474 ≈0 .06

案例三

医师作证，证明即使给已经精神分裂症的人 CAT 扫描 ,扫描显示只有30 %的案例为脑萎缩。

而给正常人以 CAT 扫描时,也会有2 %的扫描显示脑萎缩。

而在美国呢，精神分裂症的发病率大约为 1 .5 %  

现在，设 A =（CAT 扫描显示脑萎缩）;B =(做扫描的人患有精神病)。

根据目前的数据可以知道，P(B)=0 .015 , 随便找1000个人来，有15个人事精神分裂，也就是发病率。

P( ~B)=1 -0 .015 =0 .985 , 就是1000个人当值985个是正常的。

P(A|B)=0 .3 , 已经精神分裂的人，十个人拿来做，只有3个有脑萎缩。也就是精神分裂和脑萎缩的关联度并不高。

P(A|~B)=0 .02 ，就是随便拿个正常人来扫描会显示为脑萎缩的概率为0.2

于是，我们将得到的这些数据带入贝叶斯公式。

先求得P(A)=0 .015 ×0 .3 +0 .985 ×0 .02 =0 .0242 ,

    在求得P(B|A)= 0 .015 ×0 .3/ 0 .0242=0.186

结果出来啦。P(B|A)的概率，只有18.6%。

参考文献：

[美 ] 理 查 德 · 波 斯 纳 : 《法 官 如 何 思 考 》，苏 力 译 ，北 京 大 学 出 版 社 ，2009 年 版 。

秦裕林，葛 岩，林喜芬：《交大法学》（2016）NO.4《波斯纳写错了贝叶斯公式吗?》

杨 静, 陈 冬, 程小红：《大学数学》V ol .27 , №.2 ，Apr .2011《贝叶斯公式的几个应用》