013.【第一卷】命题14，15｜补角与对顶角

【原文】
命题 14
若过任意直线上一点的两条直线不在该直线的同侧，且与该直
线所成邻角之和等于两直角，则这两条直线在同一直线上。
If with any straight line, and at a point on it, two straight lines

not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right
angles, the two straight lines will be in a straight line with one another.
设过任意直线AB上的点B有两条不
在4B同侧的直线BC、BD成邻角ABC、
ABD，其和等于两直角；
我说，BD与CB 在同一直线上。
这是因为，如果 BD和BC 不在同一直线上，设BE和CB 在同
一直线上。
于是，由于直线 4B 与直线CBE 相交，所以
角ABC、 ABE之和等于两直角。
[I. 13]
但角 ABC、ABD之和也等于两直角；
因此，角CBA、ABE 之和等于角 CBA、 ABD之和。
（[公设4和公理 1]
从它们中分别减去角 CBA；
因此，其余的角 ABE 等于其余的角 ABD，
〔公理 3]
小角等于大角：这是不可能的。
因此，BE 和CB 不在同一直线上。
类似地，可以证明，除BD外也没有任何其它直线和CB 在同
一直线上。
因此，CB和BD在同一直线上。
这就是所要证明的.

命题15
若两直线相交，则交成彼此相等的对顶角。
If two straight lines cut one another, they make the vertical
angles equal to one another.
设直线 AB、CD相交于点E；
我说，角AEC等于角DEB，且角CEB
B
等于角 AED。
这是因为，由于直线4日与直线CD相交，交成了角CEA、
AED，所以
角CEA、AED之和等于两直角。
又，由于直线 DE 与直线 AB 相交，交成了角 AED、DEB，所以
角AED、DEB之和等于两直角。
[I. 13]
但已证明，角 CEA、AED之和等于两直角；
因此，角CEA、AED之和等于角 AED、DEB之和。
每[公设4和公理 1]
从它们中分别减去角 AED；
因此，其余的角CEA 等于其余的角 BED。
类似地，可以证明，角CEB也等于角DEA。
[公理 了]
这就是所要证明的。