6-2 凯利公式:仓位比例背后的科学公式
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大家好,欢迎来到戴老板的投资思维六十讲。今天我们进入赔率这个模块的第2讲。

 

在上一节里,我们重点讲了爱德华·索普凭借概率和赔率思维,在21点这个游戏里大获全胜,横扫各大赌场的案例。他之所以能成功,就是因为把握住了最核心的底层原理,用一句话来概括,就是胜率大的时候下重注,胜率小的时候下轻注。

 

不过在课程的最后,我也给大家留了个问题,那就是轻重的判断标准到底应该怎么确定,下注多少能算重注,多少才算是轻注?一般来说,轻重是个定性的标准,每个人内心里都有自己的一杆秤,而且大家风险偏好也各有不同,有人可能觉得只有满仓all in才算重注,也有人觉得一把押上20%的筹码,就已经足够胆战心惊了。

 

这种情况下,光说胜率高的时候下重注,不说到底多少才够重,其实是句正确的废话,指导不了投资实践。那有没有一个定量的判断标准,可以清楚明白的告诉我们,在现有的局势下,到底应该下注多少比例呢?

 

其实还真有。这也是我们今天这节课要探讨的主要内容,我会给大家介绍一个相对比较科学的算法,只要掌握了它,在给定条件之下,你可以得出最优的下注比例,按照这个比例去参与,拉长时间来看,保证能让你的预期收益最大,本金亏损风险最低。

 

而这个计算方法,就是大名鼎鼎的凯利公式。它最早由贝尔实验室的一名研究员发现,这个人叫约翰·凯利,于是就用他的名字来命名,把这个算法叫作凯利公式。凯利这个人对投资行业影响非常非常大,他本身的背景也很牛逼。

 

首先,他在贝尔实验室的研究搭档是大名鼎鼎的香农,就是开创信息论的教父级人物香农;其次,非常多的投资大师都受了凯利影响,比如我们上一节中讲的爱德华·索普。除了他之外还有巴菲特、吉姆西蒙斯、债券之王比尔·格罗斯。这些人在实际的投资中,都非常依赖凯利的那套理论。

 

凯利这个人最可惜的地方就是英年早逝,在1965年就中风去世了,当时只有40几岁。我们上一讲提到的爱德华索普其实只比凯利小9岁,但索普现在还活着,90多岁了,而凯利已经死了快60年了。根据后人的研究,凯利从来没有靠自己的理论赚过钱,的确是很令人感到遗憾。

 

凯利公式的应用范围非常的广泛,不管是我们上一节提到的扑克游戏21点,还是赛马之类的赌博,亦或是投资领域,买一只股票应该分配多少仓位,都算是它的应用场景。可以说,一切涉及到重复博弈的玩法,当胜率和赔率给定,需要确定下注比例的时候,凯利公式都能给你启发。

 

说了这么多,也该进入主题了,这个神秘的凯利公式,究竟是什么样子呢?它的表达式非常简洁,没有什么复杂的运算,只用小学数学就能看懂,f=bp-q/b

 

这个公式在文案里有,大家没听清楚的话,可以对照着看一下。虽然公式很简单,但是里面出现了四个英文字母,fbpq,我来给大家解释一下的。

 

这个f,就是最后想要得到的结果,也就是一个比例,如果应用在投资领域中,就是我们常说的仓位比例。它等于什么呢?看等式的右边,(bp-q/b。那b是什么呢,它代表的是赔率,就是当你赢了的时候,能赚回多少钱,而pq呢,分别对应着成功的概率和失败的概率。

 

光这么讲可能太抽象了,我们还是举个例子来说清楚。还是用第一节的抛硬币游戏吧,我们两个人玩猜正反,你猜之前先给我一笔钱,如果抛出来后的结果证明你错了,那这笔钱就归我;而如果你猜对了,我就把你之前给我的那笔钱全额退还,同时再多给你两倍,也就是说,

赔率定到一赔二。

 

因为抛硬币正反面出现的概率是50%50%,但你参与的赔率是1:2,所以显然游戏规则是有利于你的。虽然规则对你有利,但你也不能一把all in,把钱全部都投上。为什么?因为虽然赔率是1:2,但如果你all in的话,只要猜错了一局,那你的钱可就直接归我,后面也没有继续玩下去的本钱了。

 

这个时候,凯利公式就要派上用场了。我们来看看这套规则下,那些字母分别对应的数值是多少。硬币抛出来只有正反两面,猜对猜错一半对一半,这里成功概率是50%,也就是凯利公式中那个字母p=50%,而失败概率q,正好等于1-p,这里同样也是50%

 

而这里的赔率b=2,也就是当你对了,能多赚两倍的本金。好的,现在等式右半边,那些字母对应的数值我们都有了,接下来就可以代入计算,这里b*p=2*50%=1,再减去q。也就是1-50%还是50%。而这个结果呢,要再除以赔率b,也就是50%/2=25%,这就是我们要求的那个f,也是玩这个游戏,每一次应该投入的资金比例。

 

这么算下来是25%,也就是说,每次下注,只出你当前拥有资金的25%,就能够最大化你的收益。在玩的过程中随着你盈盈亏亏,资金净值也会上下波动,不过这些都没关系,你只要记得,在成功率和赔率不变的情况下,每次都下注当前资金的25%,这样长期来看,你的收益会最大化,而且这种方法最大程度的保证了你的资金安全,避免了因为连续几次猜错就把本金输光的情况出现。

 

现在我们可以回答上一节课最后留下的问题了,当你在玩21点的时候,通过算牌发现,剩下的牌堆中对自己有利的牌占比越来越多,此时相对于庄家,你已经有了5%的胜率优势,那么在这种情况下,应该到了下重注的时候,具体下注多少呢?

 

参照凯利公式来计算,首先你的赔率是一赔一,此时的成功率是55%,失败率是45%,所以下注比例f,等于赔率b*成功率,也就是0.55,再减去失败率0.45,这样得出的结果是0.1,再除以赔率b0.1/1还是0.1,它意味着你应该下本金的10%,有一百块就下十块,有一万块就押一千,这样长期来看,回报结果是最优的。

 

而在投资领域,更是每天都面临这样的权衡取舍。我们再举一个案例。假如你是一个风险投资人,发现了一家处于天使轮的初创公司,如果现在进场,有70%的概率能实现估值翻两倍,赚到200%的收益;只有30%的概率会遇到亏损,投入会打水漂,一分钱也拿不回来。在这种情况下,你的账户里有一千万,应该投入多少资金,去参与这个公司呢?

 

大家可以拿张纸拿支笔,一起来算一下。这里的赔率b2,成功率p0.7,失败率q0.3,所以算出来应该是2乘以0.7=1.4,减去0.3等于1.1,然后用1.1除以2,得出最终0.55的答案。这个数字意味着,你可以拿550万去参与这个机会,这样从收益风险比的角度看是最合适的。

 

像这个案例中的机会,其实就是所有投资人梦寐以求的。为什么?因为无论成功率还是盈亏比,都非常的有利,用第一讲的话来说,就是高概率高赔率。高概率是指你买入有70%的可能赚钱,而只有30%的可能会亏损;高赔率则是一赚就是翻两倍,而亏却最多亏100%

 

通常情况下,这种机会可以说是非常难得,必须要重仓参与,学完凯利公式后,我们知道在这种情况下到底多少仓位才算重仓了,那就是55%

 

说到这里,我们这一节的主干课程其实已经讲完了。但我猜不少听众朋友应该还是很疑惑,可能有人会问,凯利公式究竟是怎么推导出来的?为什么根据这个算法来分配仓位,会得出一个最优的结果?

 

这个问题,其实是个纯粹的数学问题,它是可以被严谨证明的,具体过程我这里不展开了,就简单提一句,当赔率和成功概率都给定的时候,长期回报结果就是一个关于下注比例的函数,大家应该还记得函数的概念,y=fx),这里的自变量x就是下注比例,比如每次下总资金的10%,或者30%,或者最极端的直接all in;而因变量y呢,就是按照这个下注比例多次参与后的回报结果。

 

当我们把这个函数的表达式写出来,然后找到它那个最大值,这个时候对应的下注比例,就是凯利公式展现给我们的那个结果。所以你按照这个结果下注,长期来看获得的回报,是在所有可能的回报中最好的那个。

 

明白了凯利公式的原理,你在未来的投资生活中面临决策的时候,就可以把它拿出来运用了。虽然看起来是有fbpq 4个字母,但实际上f只是一个符号,代表我们最后需要计算的那个结果,而p是成功概率,q是失败概率,他们俩加起来正好等于1,知道了一个另一个相当于也告诉你了,所以真正的未知量只有两个,一个是赔率,另一个就是成功或者失败的概率。

 

这两个变量,其实就是决定你长期投资回报最关键的指标。有些人的投资成功率很高,一百笔交易能有90笔盈利,只有10笔亏损,但是可能那十次亏损的,就比他90次盈利的总和还要多,比如很多散户拿不住盈利的股票,稍微赚一点就想着赶紧出了,但是一旦被套却非常有耐心,总想着只要不卖就不算亏,最后越套越深,直到哪天受不了才一刀割掉,这就是典型的高成功率,低盈亏比;

 

也有些人成功率很低,经常止损,但是对的那几次,不但可以把所有的亏损全弥补回来,还能保有巨额利润。像《黑天鹅》的作者纳西姆·塔勒布,就是这种流派的典型代表,我们在后面的课程中还会为大家纤细介绍。

 

不管你选择哪种风格,这里的关键就是,用成功率和盈亏比组合出的数学期望,必须要是正数,这才是长期能在市场中生存下来的策略。像巴菲特就一直坚持这种理念,他曾经说过一句话,“用亏损概率乘以可能亏损的数量,再用收益概率乘以可能收益的数量,最后用后者减去前者,这就是我们一直试图做的方法”。

 

在《巴菲特的投资组合》这本书里,作者举了一个例子来说明巴菲特的决策思路,我给大家讲一下。假如一家公司今天的开盘价是每股18美元,上午的时候他突然发布公告,另一家公司将会在半年内,以每股30美元的价格来收购,于是股价马上开始拉升到了27美元,并且在这个位置开始横盘震荡。

 

之所以没有立刻拉升到30美元,是因为收购事项存在不确定,比如公司的董事会可能会否决并且做出抗争,政府机关也可能会施加干预等等,这个时候巴菲特就会展开计算,比如综合评估后,他得出收购成功的概率是90%,这样以现在的价格27买,90%的概率可以在六个月后以30美元的价格出手;而即使出现10%的小概率事件,收购失败,那估计无非就是跌到消息发布前的18美元。

 

简单计算就可以发现,90%的概率赚3美元,减去10%的概率亏9美元,会得到每股1.8美元的预期收益,这的确是一个正数,代表机会可以参与。而1.8美元对应现在27的股价,意味着涨幅是6.6%,而这一切是在半年内可以实现的,这笔资金的年化回报应当是6.6%的两倍,也就是13.2%

 

做完这些工作后,你只需要考虑目前别的潜在投资机会,是否能提供超过13.2%的年化回报,就可以决定要不要参与了。如果算下来确实没有性价比更高的其他选择,那这个机会不容错过,别忘了再用一下凯利公式,算算自己应该投入本金的多大比例。

 

不过需要说明的是,这里的情况要比之前更复杂,我们前面讲的,都是一旦遭遇失利,本轮投入就全拿不回来的情况,而这里不太一样,即使失败你投入的资金也并不会亏光,而是只有9/27=1/3的净损失,我把详细的计算过程放在了文案里,感兴趣的同学可以自己对照学习一下。

 

附注:凯利公式的变体,f*=(p*rW-q*rL)/rLrW),其中rW是获胜后的净盈利率,rL是净损失率,在这个案例中,rW=3/27=0.11, rL=9/27=0.33,计算结果f=1.8,意味着可以加80%杠杆,维持180%仓位参与。

 

这样整个过程,都是基于理性计算后的考量,排除掉运气的干扰,拉长时间看,你的投资成功将会成为理所应当的事。

 

可以看到,凯利公式对于帮助我们做出理性决策来说,真的起了非常大的作用。现在还有最后一个问题,因为必须要有赔率和成功率作为已知条件,才能完成凯利公式的计算,那么这两个数值应该怎么获得呢?

 

如果是在确定性足够强的游戏里,就像索普玩的21点,一副牌扣除大小王一共52张,分成四个花色,每种都是从AK13个点数轮一遍,牌面上发出一张9,意味着剩余的牌堆里就少一张9,这样其实是比较好计算的,虽然过程很繁琐,对一般人来说比较难,但是至少有明确的步骤,你可以清楚算出剩余牌堆中自己的成功率;而赔率又是庄家定好的一个固定值,也没什么好操心的,这种其实是比较理想的情况。

 

但在投资实践中,往往要复杂许多。一个股票买入后上涨概率是60%还是70%,赔率能给到2倍还是1.5倍,其实是没有办法精准算清的。这一点我们在前面反身性那一节中提过,因为股票市场是由一个个投资者组成的,每个人的预期传导到买入或卖出的行动,行动影响股价,股价变动又会反过来影响预期,所以成功率和盈亏比都是不能被准确算出来的。

 

在这种情况下,应该怎么获得一个有参考价值的概率和赔率,从而让凯利公式可以发挥作用呢?最方便的办法就是用历史数据进行回测,找到之前同类型的交易,看看到底赚钱的概率有多大,如果赚的话能赚多少。

 

必要的时候,你还要根据不断变化的形式,来动态调整自己的决策,比如原本你估计的成功率是60%,赔率是2:1,如果条件A发生,那么成功率会变成80%,赔率变为3:1;而如果条件B发生,那么成功率就会下降到55%,赔率也降到1.2:1。这其实就是贝叶斯定理的核心思想,我们在后面的专题里还会深入展开,如果暂时没听懂也不要着急。

 

总结一下,今天课程的主要内容就是凯利公式,一个帮助你在给定概率和赔率的前提下,做出最优下注比例的数学定理。我们再重复一下那个公式,f=b*p-q/bb是赔率,pq分别是成功概率和失败概率。

 

好了,本期课程就到这里。今天的课程相对来说比较难,全都是数学公式。我这里就不留思考题了。谢谢大家。我们下节课再见。


47条评论
  • 远川研究所

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    2020-11-06 13:51

    wood先生 回复 @远川研究所: 老师,一直没收到。我是3月份购买的。

  • 给我手_ox

    可是交易最难的地方不就是把成功概率失败概率数字化吗。
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    2020-07-28 14:55
  • 逍遥游dream

    难就难在散户日常胜率和赔率的确定了!基于人性,下注时候都觉得是胜率9成以上
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    2020-09-10 11:00
  • 之乎者balabala

    凯利公式推导过程可以去看李永乐老师的视频~
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    2020-07-27 03:58
  • nigel_p7

    凯利公式和贝叶斯是投资的两大神器。贝叶斯已经属于机器学习的范畴了。目前这个时代散户也可以买块gpu跑深度学习算法,加油,一起战胜市场。
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    2020-07-27 00:55
  • miracle2017

    那怎么识别赔率和胜率呢?
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    2020-07-27 13:29

    听友228381640 回复 @miracle2017: 这个最难啊,都知道了都赚钱

  • wxbioman

    戴老板果然是干货满满!不光讲凯利公式还讲凯利公式的变体以及贝叶斯定理,已经甩出大部分公众号几条街了!但是凯利公式计算经常会出现高杠杆的情况,不知道专业投资团队怎么风控?
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    2020-07-27 02:03
  • 野孩子的小屋子

    老板,一个星期了,还没更新
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    2020-08-02 18:19
  • LuckyLuke_hj

    希望有个听友交流群
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    2020-07-26 23:55
  • Rose_e1r

    有固定的更新时间吗
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    2020-07-27 10:30