6-2 凯利公式：仓位比例背后的科学公式

大家好，欢迎来到戴老板的投资思维六十讲。今天我们进入赔率这个模块的第2讲。

在上一节里，我们重点讲了爱德华·索普凭借概率和赔率思维，在21点这个游戏里大获全胜，横扫各大赌场的案例。他之所以能成功，就是因为把握住了最核心的底层原理，用一句话来概括，就是胜率大的时候下重注，胜率小的时候下轻注。

不过在课程的最后，我也给大家留了个问题，那就是轻重的判断标准到底应该怎么确定，下注多少能算重注，多少才算是轻注？一般来说，轻重是个定性的标准，每个人内心里都有自己的一杆秤，而且大家风险偏好也各有不同，有人可能觉得只有满仓all in才算重注，也有人觉得一把押上20%的筹码，就已经足够胆战心惊了。

这种情况下，光说胜率高的时候下重注，不说到底多少才够重，其实是句正确的废话，指导不了投资实践。那有没有一个定量的判断标准，可以清楚明白的告诉我们，在现有的局势下，到底应该下注多少比例呢？

其实还真有。这也是我们今天这节课要探讨的主要内容，我会给大家介绍一个相对比较科学的算法，只要掌握了它，在给定条件之下，你可以得出最优的下注比例，按照这个比例去参与，拉长时间来看，保证能让你的预期收益最大，本金亏损风险最低。

而这个计算方法，就是大名鼎鼎的凯利公式。它最早由贝尔实验室的一名研究员发现，这个人叫约翰·凯利，于是就用他的名字来命名，把这个算法叫作凯利公式。凯利这个人对投资行业影响非常非常大，他本身的背景也很牛逼。

首先，他在贝尔实验室的研究搭档是大名鼎鼎的香农，就是开创信息论的教父级人物香农；其次，非常多的投资大师都受了凯利影响，比如我们上一节中讲的爱德华·索普。除了他之外还有巴菲特、吉姆西蒙斯、债券之王比尔·格罗斯。这些人在实际的投资中，都非常依赖凯利的那套理论。

凯利这个人最可惜的地方就是英年早逝，在1965年就中风去世了，当时只有40几岁。我们上一讲提到的爱德华索普其实只比凯利小9岁，但索普现在还活着，90多岁了，而凯利已经死了快60年了。根据后人的研究，凯利从来没有靠自己的理论赚过钱，的确是很令人感到遗憾。

凯利公式的应用范围非常的广泛，不管是我们上一节提到的扑克游戏21点，还是赛马之类的赌博，亦或是投资领域，买一只股票应该分配多少仓位，都算是它的应用场景。可以说，一切涉及到重复博弈的玩法，当胜率和赔率给定，需要确定下注比例的时候，凯利公式都能给你启发。

说了这么多，也该进入主题了，这个神秘的凯利公式，究竟是什么样子呢？它的表达式非常简洁，没有什么复杂的运算，只用小学数学就能看懂，f=（bp-q）/b。

这个公式在文案里有，大家没听清楚的话，可以对照着看一下。虽然公式很简单，但是里面出现了四个英文字母，f、b、p、q，我来给大家解释一下的。

这个f，就是最后想要得到的结果，也就是一个比例，如果应用在投资领域中，就是我们常说的仓位比例。它等于什么呢？看等式的右边，（bp-q）/b。那b是什么呢，它代表的是赔率，就是当你赢了的时候，能赚回多少钱，而p和q呢，分别对应着成功的概率和失败的概率。

光这么讲可能太抽象了，我们还是举个例子来说清楚。还是用第一节的抛硬币游戏吧，我们两个人玩猜正反，你猜之前先给我一笔钱，如果抛出来后的结果证明你错了，那这笔钱就归我；而如果你猜对了，我就把你之前给我的那笔钱全额退还，同时再多给你两倍，也就是说，

赔率定到一赔二。

因为抛硬币正反面出现的概率是50%：50%，但你参与的赔率是1:2，所以显然游戏规则是有利于你的。虽然规则对你有利，但你也不能一把all in，把钱全部都投上。为什么？因为虽然赔率是1:2，但如果你all in的话，只要猜错了一局，那你的钱可就直接归我，后面也没有继续玩下去的本钱了。

这个时候，凯利公式就要派上用场了。我们来看看这套规则下，那些字母分别对应的数值是多少。硬币抛出来只有正反两面，猜对猜错一半对一半，这里成功概率是50%，也就是凯利公式中那个字母p=50%，而失败概率q，正好等于1-p，这里同样也是50%。

而这里的赔率b=2，也就是当你对了，能多赚两倍的本金。好的，现在等式右半边，那些字母对应的数值我们都有了，接下来就可以代入计算，这里b*p=2*50%=1，再减去q。也就是1-50%还是50%。而这个结果呢，要再除以赔率b，也就是50%/2=25%，这就是我们要求的那个f，也是玩这个游戏，每一次应该投入的资金比例。

这么算下来是25%，也就是说，每次下注，只出你当前拥有资金的25%，就能够最大化你的收益。在玩的过程中随着你盈盈亏亏，资金净值也会上下波动，不过这些都没关系，你只要记得，在成功率和赔率不变的情况下，每次都下注当前资金的25%，这样长期来看，你的收益会最大化，而且这种方法最大程度的保证了你的资金安全，避免了因为连续几次猜错就把本金输光的情况出现。

现在我们可以回答上一节课最后留下的问题了，当你在玩21点的时候，通过算牌发现，剩下的牌堆中对自己有利的牌占比越来越多，此时相对于庄家，你已经有了5%的胜率优势，那么在这种情况下，应该到了下重注的时候，具体下注多少呢？

参照凯利公式来计算，首先你的赔率是一赔一，此时的成功率是55%，失败率是45%，所以下注比例f，等于赔率b*成功率，也就是0.55，再减去失败率0.45，这样得出的结果是0.1，再除以赔率b，0.1/1还是0.1，它意味着你应该下本金的10%，有一百块就下十块，有一万块就押一千，这样长期来看，回报结果是最优的。

而在投资领域，更是每天都面临这样的权衡取舍。我们再举一个案例。假如你是一个风险投资人，发现了一家处于天使轮的初创公司，如果现在进场，有70%的概率能实现估值翻两倍，赚到200%的收益；只有30%的概率会遇到亏损，投入会打水漂，一分钱也拿不回来。在这种情况下，你的账户里有一千万，应该投入多少资金，去参与这个公司呢？

大家可以拿张纸拿支笔，一起来算一下。这里的赔率b是2，成功率p是0.7，失败率q是0.3，所以算出来应该是2乘以0.7=1.4，减去0.3等于1.1，然后用1.1除以2，得出最终0.55的答案。这个数字意味着，你可以拿550万去参与这个机会，这样从收益风险比的角度看是最合适的。

像这个案例中的机会，其实就是所有投资人梦寐以求的。为什么？因为无论成功率还是盈亏比，都非常的有利，用第一讲的话来说，就是高概率高赔率。高概率是指你买入有70%的可能赚钱，而只有30%的可能会亏损；高赔率则是一赚就是翻两倍，而亏却最多亏100%。

通常情况下，这种机会可以说是非常难得，必须要重仓参与，学完凯利公式后，我们知道在这种情况下到底多少仓位才算重仓了，那就是55%。

说到这里，我们这一节的主干课程其实已经讲完了。但我猜不少听众朋友应该还是很疑惑，可能有人会问，凯利公式究竟是怎么推导出来的？为什么根据这个算法来分配仓位，会得出一个最优的结果？

这个问题，其实是个纯粹的数学问题，它是可以被严谨证明的，具体过程我这里不展开了，就简单提一句，当赔率和成功概率都给定的时候，长期回报结果就是一个关于下注比例的函数，大家应该还记得函数的概念，y=f（x），这里的自变量x就是下注比例，比如每次下总资金的10%，或者30%，或者最极端的直接all in；而因变量y呢，就是按照这个下注比例多次参与后的回报结果。

当我们把这个函数的表达式写出来，然后找到它那个最大值，这个时候对应的下注比例，就是凯利公式展现给我们的那个结果。所以你按照这个结果下注，长期来看获得的回报，是在所有可能的回报中最好的那个。

明白了凯利公式的原理，你在未来的投资生活中面临决策的时候，就可以把它拿出来运用了。虽然看起来是有fbpq 4个字母，但实际上f只是一个符号，代表我们最后需要计算的那个结果，而p是成功概率，q是失败概率，他们俩加起来正好等于1，知道了一个另一个相当于也告诉你了，所以真正的未知量只有两个，一个是赔率，另一个就是成功或者失败的概率。

这两个变量，其实就是决定你长期投资回报最关键的指标。有些人的投资成功率很高，一百笔交易能有90笔盈利，只有10笔亏损，但是可能那十次亏损的，就比他90次盈利的总和还要多，比如很多散户拿不住盈利的股票，稍微赚一点就想着赶紧出了，但是一旦被套却非常有耐心，总想着只要不卖就不算亏，最后越套越深，直到哪天受不了才一刀割掉，这就是典型的高成功率，低盈亏比；

也有些人成功率很低，经常止损，但是对的那几次，不但可以把所有的亏损全弥补回来，还能保有巨额利润。像《黑天鹅》的作者纳西姆·塔勒布，就是这种流派的典型代表，我们在后面的课程中还会为大家纤细介绍。

不管你选择哪种风格，这里的关键就是，用成功率和盈亏比组合出的数学期望，必须要是正数，这才是长期能在市场中生存下来的策略。像巴菲特就一直坚持这种理念，他曾经说过一句话，“用亏损概率乘以可能亏损的数量，再用收益概率乘以可能收益的数量，最后用后者减去前者，这就是我们一直试图做的方法”。

在《巴菲特的投资组合》这本书里，作者举了一个例子来说明巴菲特的决策思路，我给大家讲一下。假如一家公司今天的开盘价是每股18美元，上午的时候他突然发布公告，另一家公司将会在半年内，以每股30美元的价格来收购，于是股价马上开始拉升到了27美元，并且在这个位置开始横盘震荡。

之所以没有立刻拉升到30美元，是因为收购事项存在不确定，比如公司的董事会可能会否决并且做出抗争，政府机关也可能会施加干预等等，这个时候巴菲特就会展开计算，比如综合评估后，他得出收购成功的概率是90%，这样以现在的价格27买，90%的概率可以在六个月后以30美元的价格出手；而即使出现10%的小概率事件，收购失败，那估计无非就是跌到消息发布前的18美元。

简单计算就可以发现，90%的概率赚3美元，减去10%的概率亏9美元，会得到每股1.8美元的预期收益，这的确是一个正数，代表机会可以参与。而1.8美元对应现在27的股价，意味着涨幅是6.6%，而这一切是在半年内可以实现的，这笔资金的年化回报应当是6.6%的两倍，也就是13.2%。

做完这些工作后，你只需要考虑目前别的潜在投资机会，是否能提供超过13.2%的年化回报，就可以决定要不要参与了。如果算下来确实没有性价比更高的其他选择，那这个机会不容错过，别忘了再用一下凯利公式，算算自己应该投入本金的多大比例。

不过需要说明的是，这里的情况要比之前更复杂，我们前面讲的，都是一旦遭遇失利，本轮投入就全拿不回来的情况，而这里不太一样，即使失败你投入的资金也并不会亏光，而是只有9/27=1/3的净损失，我把详细的计算过程放在了文案里，感兴趣的同学可以自己对照学习一下。

附注：凯利公式的变体，f*=(p*rW-q*rL)/（rLrW），其中rW是获胜后的净盈利率，rL是净损失率，在这个案例中，rW=3/27=0.11, rL=9/27=0.33，计算结果f=1.8，意味着可以加80%杠杆，维持180%仓位参与。

这样整个过程，都是基于理性计算后的考量，排除掉运气的干扰，拉长时间看，你的投资成功将会成为理所应当的事。

可以看到，凯利公式对于帮助我们做出理性决策来说，真的起了非常大的作用。现在还有最后一个问题，因为必须要有赔率和成功率作为已知条件，才能完成凯利公式的计算，那么这两个数值应该怎么获得呢？

如果是在确定性足够强的游戏里，就像索普玩的21点，一副牌扣除大小王一共52张，分成四个花色，每种都是从A到K这13个点数轮一遍，牌面上发出一张9，意味着剩余的牌堆里就少一张9，这样其实是比较好计算的，虽然过程很繁琐，对一般人来说比较难，但是至少有明确的步骤，你可以清楚算出剩余牌堆中自己的成功率；而赔率又是庄家定好的一个固定值，也没什么好操心的，这种其实是比较理想的情况。

但在投资实践中，往往要复杂许多。一个股票买入后上涨概率是60%还是70%，赔率能给到2倍还是1.5倍，其实是没有办法精准算清的。这一点我们在前面反身性那一节中提过，因为股票市场是由一个个投资者组成的，每个人的预期传导到买入或卖出的行动，行动影响股价，股价变动又会反过来影响预期，所以成功率和盈亏比都是不能被准确算出来的。

在这种情况下，应该怎么获得一个有参考价值的概率和赔率，从而让凯利公式可以发挥作用呢？最方便的办法就是用历史数据进行回测，找到之前同类型的交易，看看到底赚钱的概率有多大，如果赚的话能赚多少。

必要的时候，你还要根据不断变化的形式，来动态调整自己的决策，比如原本你估计的成功率是60%，赔率是2:1，如果条件A发生，那么成功率会变成80%，赔率变为3:1；而如果条件B发生，那么成功率就会下降到55%，赔率也降到1.2:1。这其实就是贝叶斯定理的核心思想，我们在后面的专题里还会深入展开，如果暂时没听懂也不要着急。

总结一下，今天课程的主要内容就是凯利公式，一个帮助你在给定概率和赔率的前提下，做出最优下注比例的数学定理。我们再重复一下那个公式，f=（b*p-q）/b，b是赔率，p和q分别是成功概率和失败概率。

好了，本期课程就到这里。今天的课程相对来说比较难，全都是数学公式。我这里就不留思考题了。谢谢大家。我们下节课再见。