数学丨15“最神奇的三角形”有多神奇？

上节课，我们讲解了斐波那契数列以及它和黄金分割率的神奇关系，这节课，我们来聊聊，数学中最神奇的“三角形”！当然，这个三角形，不是几何学中的三角形，而是由许多数字构成。

杨辉三角形是什么

首先，大家先来跟着我在纸上画出这个三角形。

我们先在第一行留出一个位置，第二行两个，第三行三个，以此类推。把这些空出来的位置排列成一个等边三角形的样子。就像下面这个图一样：

然后我们在第一个空格内填上数字1，下面的每个格子里的数字，都等于这个格子肩上的两个格子的数字和。注意，每一行左右两端的格子，肩上都只有一侧有数字，那么另一侧就当做0来计算，所以全部填1即可。

按照这样的方法，我们就可以知道具体每一个格子代表的数字是多少。并且只要你愿意，你可以一直写下去，不过你永远不可能把这个三角形中的数字都写出来，因为它是无穷无尽的，不会到某一行就没有下一行了。这里我们简单的写7行，就像这样：

有人说，它们看起来只是一堆整齐有序的数字，比较好看罢了。但实际上，这却是数学领域的一个重要瑰宝。在印度，人们把它叫做“梅鲁山梯”；在伊朗，人们把它叫做“海亚姆三角”；在欧洲大多数国家，人们把它叫做“帕斯卡三角”；在中国，人们把它叫做杨辉三角。

事实上，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中，已经详细的记录下了，这个三角形数阵。并指出，这个数阵出自于两百多年前，我国数学家——贾宪的《释锁算术》。这个发现，比法国数学家帕斯卡，早了整整600年。

杨辉三角形与二项式展开

那么，为什么这个三角形数阵，会让全世界的数学家都如此着迷呢？接下来，我们就开始今天的探秘之旅。看看它到底藏着什么秘密！

杨辉三角的最浅显，最直观，也是在中学阶段最常用的一个规律就是——计算二项式展开系数。这里二项式指的就是（x+y）的n次方。比如，我们把（x+y）的平方展开，就会得到：

我们观察x从最高次项到最低次项的系数，分别为：1，2，1，刚好对应杨辉三角第三行的三个数字。我们再随便计算一个，把（x+y）的三次方展开，就会得到：

还是一样，观察它的系数，分别是：1，3，3，1，刚好对应杨辉三角第四行的四个数字。

所以我们总结出一个规律。当我们想把一个高次二项式展开的时候，不需要进行大量的乘法运算然后合并同类项。我们只需要在杨辉三角中找到系数，然后填到对应项的前面就可以了。比如说，以后做题的时候我们想展开（x+y）的五次方。我们只需要先找出它的所有项，并按照x的降次排成一行，就像这样：

然后我们找到杨辉三角中第六行的6个数字1，5，10，10，5，1，分别把这六个数字当做刚刚我们写的六个单项式的系数，再把结果相加，得到：

这就是的展开结果啦！是不是特别的方便呢？根本不需要大量的计算，就可以快速得到展开式！

有的同学可能会问，老师，你只是验算了前几项，是正确的，那怎么可以推测每一项都是正确的呢？这不是属于归纳逻辑吗？而归纳逻辑你不是告诉我们未必正确吗？这是一个很好的问题！其实，杨辉三角与二项式系数的一一对应，是有着严格的数学证明的，其中涉及到高中的两个数学知识：组合数和二项式定理。在这里我们不多做介绍，感兴趣的同学也可以自己去探索。

其他性质

不仅如此，杨辉三角还有许多美妙神奇的性质。

我们把每一行的数字全部加起来，就会发现，第一行的总和是1，第二行是2，第三行是4，第四行是8……第n行就是：

这些数字的总和就是2的整数次方。

如果我们把每一行的数字看成一个数的十进制展开，那么，这些数字的总和就会变成11的整数次方了。比如第二行两个数字，1，1，第一个1表示1个十，第二个1表示1个一。那么加起来就是11，是11的一次方。类似的我们再来看，第三行三个数字，1，2，1，加起来就是一百二十一，是11的平方。我们再随便看一行，比如第六行，六个数字是1，5，10，10，5，1，我们按照进位方法加起来，就得到1×100000+5×10000+10×1000+10×100+5×10+1=161051也就等于11的五次方。

不仅仅是跟代数有关哦，这些数字还跟几何有着密切的关系。我们不妨斜着看，前两列数没有什么特别的意义，第一列都是1，第二列就是所有自然数。第三列的数字就比较特别了。1，3，6，10等等……这些数字被称作三角数。因为如果有这么多个点，你就可以把它们堆成一个等边三角形的形状。不信你来数一数：

类似的，我们如果看第四列数，这些数字就叫做四面体数。因为如果有这么多个小球，我们就可以堆成一个金字塔的结构。

我们的性质还没有结束，如果把杨辉三角中所有的奇数全部圈出来，会怎么样呢？我们发现，它的排布规律会跟“谢尔宾斯分形三角”完全一样。下图就是谢尔宾斯分形三角的样子：大家可以自己画一画，看看是不是这个样子：

另外，杨辉三角在组合数学和概率计算中，也显得尤为重要。比如我们想知道抛五次硬币，正好出现三次正面两次反面的概率是多少？我们就可以找到杨辉三角的第六行，1，5，10，10，5，1.第一个数字表示出现5次正面的情况，最后一个数字表示出现5次反面的情况，于是第三个数就是我们需要的，三正两反的情况数，也就是10。我们再用10除以这一行的总数32，就得到了正好出现三次正面两次反面的概率：31.25%。

课后练习

杨辉三角还有着许许多多美妙的结论，它甚至还跟我们上节课说的斐波那契数列，都有着密切的关系，那么，同学们，你们能找到杨辉三角和斐波那契数列的关系吗？

这节课，给大家简单的介绍了杨辉三角形以及它在数学中的重要意义，下节课，我们讲，如何能让分数变的更美！我们下节课见！