指数函数的反函数是对数函数。
对数函数的一般形式为y=logax,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a存在规定——a>0且a≠1,对于不同大小a会形成不同的函数图形:关于X轴对称、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴、当0 对数函数的性质: 值域:实数集R,显然对数函数无界。 定点:对数函数的函数图像恒过定点(1,0)。 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数。 0 奇偶性:非奇非偶函数。 周期性:不是周期函数。 对称性:无。 最值:无。 零点:x=1。 注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。
y'=(1-lnx)/x²
令y'=0得x=e
当0
当x>e时,y'<0,y单调递减
y=lnx/x 的定义域是(0,+∞),值域是(-∞,1/e),极大值是y=lne/e=1/e
在递减区间(e,+∞)上,0
函数图像画法具体如下:
令x=0,得y=1,令y=0,得x=1/2。
过点(0,-1),(-1/2, 0)画直线就是y=2x-1的图像旦改。
k,b决定函数图像的位置。
y=kx时,y与x成正比例。
当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大。
当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时。
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。
当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限。
当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限。
当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时,直线必通过第一、二象限。
当b<0时,直线必通过第三旦迟友、四象限。
当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第模槐二、四象限。
当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
一次函数的函数性质
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k。
即:y=kx+b(k≠0)(k不等于0,且k,b为常数)。
2、当x=0时,b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b)。
3、k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,θ≠90°)。
4、当b=0时(即y=kx),一次函数图象变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
5、函数图象性质:当k相同,且b不相等,图像平行。
当k不同,且b相等,图象相交于Y轴。
当k互为负倒数时,两直线垂直。
6、平移时:上加下减在末尾,左加右减在中间。
分段来画即可:
x>=0时,f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x), 相当于是反比例函数y=-1/x向左平移一个单位,再向上平移一个单位,但只是取x>=0(即右半平面的部分);
x<0时,因为f(x)是奇函数,可由对称性得到左半平面的曲线。
相同点:两函数图象的形状完全相同
不同点:
第二个函数2(x-1)∧2+1的图象相对于第一个函数y=2x∧2的图象,向上移动了1,向右移动1
对于一般XY平面上的函数,X后面所加减的系数控制着函数图象的左右位置,
遵循“左加右减”的规律,比如第二个函数的(x-1)就相对于第兄歼一个往右移动宏键了1,蔽尘巧如果是(x+1)就是往左移动1
而整个函数后面加减的系数,则是关系着函数图象的上下位置,遵循“上加下减”的规律,
比如第二个最后加了1,图象就向上移动1
如果单纯是画一次函数Y=kX+b的图象的话,有个最简单的办法:
1、取x=0,算出y的值,y=b,即点(0,b)为函数Y=kX+b与y轴的交点
2、取y=0,算出x的值,x=-b/k,即点(-b/k,0)为函数Y=kX+b与x轴的交点
用直线连接两点,即是。如图。