32.3实验|希尔伯特的旅馆：客满的旅馆总能腾出一间房？

今天要来和大家讲一个思想实验：希尔伯特的旅馆。

它之所以叫做希尔伯特的旅馆，是因为它是数学家希尔伯特提出来的。

大卫·希尔伯特是一个德国数学家，他出生于1862年，逝世于1943年。是德国数学界哥廷根学派的领军人物。

在1900年的巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了一个演讲“数学问题”。在这次演讲中，他提出了23个最为重要的数学问题。后来这些问题被称为“希尔伯特问题”，成为了很多数学家一辈子想攻克的难题。

三十年之后，希尔伯特在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，他提出了一个口号：“我们必须知道，我们必将知道。”他就是这样一个认真的数学家和学者，强烈反对当时不少人信奉的不可知论观点。后来这句话被刻在了希尔伯特的墓碑上。

说到这里，大家一定会问：这个思想实验叫做“希尔伯特的旅馆”。难道是数学家本人开了一家旅馆吗？

其实不是的，这依然是一个思想实验。这个思想实验是这样的：希尔伯特让我们设想有一家旅馆。这家旅馆里N个房间，每个房间是用数字编排的：1、2、3、4、5、6……这里的N是有限的数量，但是所有的房间都已客满。

这个时候又来了一位新客，他想订个房间。所以呢，旅馆主人只能说，“对不起，所有的房间都住满了。”

不过，希尔伯特让我们设想第二种情况，还是有一家旅馆。不过这家旅馆里有无限间房间。同样，这家旅馆的所有房间也都住满了人。这个时候来了一个新的客人，他想要一件房间。

于是，旅馆的老板想出了一个办法来：既然旅馆的房间数量是无限的。那么，他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新来的客人，就可以被安排住进了已经被腾空的1号房间里了。问题完美解决。

不过，希尔伯特还没有结束思考。他让我们设想第三种情况。

还是那家有无限件房间的旅馆。所有的房间都已经住满了人。这个时候，来了无穷多个新客人，他们在旅馆外面排起了长队，一眼望不到头。他们每个人都想要一件新的单独的房间。这可如何是好呢？

希尔伯特说，没有关系。他说，旅馆老板可以这样做：他可以把1号房间的旅客移到2号房间，把2号房间的旅客移到4号房间，把3号房间的旅客移到6号房间，如此继续下去。也就是让原来有房间的客人挪动到双数的房间。

这样一来呢，所有的单号房间都腾出来了。新来的无穷多位客人可以住进去。问题完美解决了！妥妥的。

大家可能会怀疑自己是不是住进了一家黑店啊？对的，数学家开的旅馆，里面塞进那么多的人。

其实问题的关键还是在“无限”这个概念上。既然是无限，里面就可以再塞一个新的客人。这里就有一个看似的悖论出现了：无限其实等于无限加一。

既然塞进一个新的客人还是无限，那么就还可以塞一个新客人，一直这样继续下去。不过，也有人问，既然是这样，为什么不一开始就让新来的客人住在最后一间房间呢？因为房间是无限的，旅馆老板不知道到底应该把他安排在哪一件房间啊。是不是很无语呢？

如果真的需要无限个客人都换一个房间的话，新来的可能需要等很长很长的时间哦。他今天晚上肯定是没法住进自己的房间了。

不过，既然如此，一开始说，这个旅馆已经住满了。这里的“住满”到底是什么意思呢？