019.【第一卷】命题21｜多重三角形

【原文】
命题 21
若从三角形一边的两个端点作两条直线交于三角形内，则这样
作出的两条直线之和小于三角形其余西边之和，但夹角更大。
If on one of the sides of a triangle, from its extremities, there
be constructed two straight lines meeting within the triangle, the
straight lines so constructed will be less than the remaining two
sides of the triangle, but will contain a greater angle.
在三角形ABC的一边BC上，从其
端点B、C作两条直线 BD、DC交于三
角形 ABC内；
我说，BD、DC之和小于三角形其
余两边 B4、AC之和，但所夾的角BDC大于角 BAC。
这是因为，延长BD到E。
手是，由于在任意三角形中，两边之和大于第三边，
[I. 20]
因此，在三的形 4BE中，两边 AB、AE之和大于BE。
给它们分别加上 EC

因此，BA、AC之和大于BE、EC之和。
又，由于在三角形CED中，两边CE、ED之和大于 CD,
给它们分别加上 DB；
因此，CE、EB之和大于CD、DB之和。
但已证明，BA、AC之和大于BE、EC之和；
因此，BA、AC之和比 BD、DC之和更大。
又，由于在任意三角形中，外角大于内对角，
因此，在三角形CDE中，
外角 BDC大于角 CED。
此外，同理，在三角形ABE 中也有，
外角 CEB 大于角 BAC。
但已证明，角 BDC 大于角 CEB；
因此，角BDC比角BAC更大。这就是所要证明的。