134 复杂性和复杂系统（2）

混沌的发现使得科学的许多核心原则被重新加以思考。19世纪的科学家几乎没人会相信这些新思想，比如：确定性系统有可能产生混沌的行为，不需要外部的随机源；由于对初始条件的敏感依赖性，即使在原则上我们也不能对一些简单的确定性系统的长期变化做出预测；混沌系统的具体变化虽然无法预测，但是却存在混沌系统的一些普适共性，也就是在混沌中存在着某种秩序，因此，虽然我们无法在细节上对混沌进行预测，但是在更高一级的层面上，混沌系统却是可以预测的。


从20世纪到今天，混沌理论对科学的影响逐渐越来越深入和广泛了。混沌理论暗示着，秩序与混沌之间并非是泾渭分明的，而是一体两面，彼此纠缠互通的。


什么是“分形”呢？分形指的是一种“自相似性”。法国数学家曼德尔布罗特认为，真实世界的图形充满了不光滑，例如把海岸线的图不断放大，就显示了处处不光滑而且“自相似”的特征。例如雪花的图案，也是如此。


因此，用传统的长度、面积、体积等数学概念不能描述这些实际的图形，必须引入全新的概念和定义。曼德尔布罗特把这种图形称为“分形”。分形就是处处不光滑，而且具有严格的或者统计的无穷自相似结构的图形。


一般来说，分形具有无穷细节、无穷长度、无斜率、分数维度和自相似性等特征，不过如此复杂的图形我们只需要通过简单的迭代操作就可以生成。曼德尔布罗特自己就使用计算机迭代了一个简单的代数表达式，得到了一个独特的复数集合，这个被称为“曼德尔布罗特集合”的分形图案被誉为“数学中最复杂的对象”。


描绘分形的关键在于找到跨越所有尺度的自相似法则，也就是说，用任何倍数的放大镜看分形，图形都一样。理解分形的关键在于理解“分数维度”，这需要我们暂时摆脱关于维度的常识观念。


我们一般都认为，维度的数量是整数，比如零维的点、一维的线、二维的平面、三维的立体等。可是，具有分数性质的维度意味着什么呢？一个物体怎么可能既是一维的又是二维的？怎么可能是介乎于一维和二维之间的分数维呢？


举个例子，比如我们研究一个毛线球的维度数是多少？从很远的地方看，这个毛线球就像一个点，因此是零维。靠近点看，一切回归正常，球的维数是三。可是，假如我们再靠近点看，就会看到一根根单条的、扭曲缠绕的毛线。因为球是由扭曲的线构成的，所以可以认为球是一维的。假如我们拿着放大镜再靠近点看，就能看到线是具有一定粗细的柱子形状，于是线重新变成三维的了。再靠近点会如何呢？此时我们就看不到原来的线柱了，只能看到构成原来线柱的相互缠绕的微细纤维，线球又变成一维的了。


也就是说，线球的“有效维数”不断从三变到一，然后又变回来。球的表观维数取决于我们从多远的位置来观察它。由此可知，维数与我们观察的方式有关。曼德尔布罗特认为，分形几何学突出了观察者和物体之间难以化解的纠缠关系，这与相对论、量子力学是一致的，都表明了观察者与被观察者之间是相互关联的。


因此，分数维度意味着一种定性的测度，它是一种关于物体相对复杂度的测度。如果海岸线的分维数比1越大，表明海岸线越不规则、越混沌；如果海岸线的分维数接近于1，则海岸线十分光滑，没有精致的细节。


分形与奇异吸引子是密切相关的，奇异吸引子本身就是一种分形曲线。哪里发现了混沌，分形几何学就在哪里登场！


分形几何学比欧几里得几何学更好地反映出了大自然的秩序与创造性。它暗示着，物理世界的每一部分或每一现象，都代表着整体的一个缩影，在“部分”中存在着“整体”的一幅映像。


20世纪八九十年代，有许多人把分形的知识运用于图形产生的方法，把分形和拓扑学结合起来可以逼真地重现极其复杂的图形。分形的知识在美术、印刷、纺织品设计等方面都得到了较好的应用。


美国当代伟大的科普作家、科幻小说家阿西莫夫受到分形理论的启发，猜想在科学知识领域也存在分形现象，所以我们要无穷地探索下去。因为无论我们深入到哪一个层次，都会遇到自相似，然后循环往复。


关于复杂性和复杂系统的定义和度量方法有许多种，其中不乏相当优秀、深刻的思想和建议，它们在复杂性科学的研究历史中起到了一定的作用。


2001年，物理学家劳埃德发表了一篇文章，提出了度量一个事物或过程的复杂性的三个维度，即描述它有多困难？产生它有多困难？其组织程度如何？他列出了40种度量复杂性的方法，这些方法分别是从动力学、热力学、信息论和计算等方面来考虑这三个问题。


下面让我们来看看几种度量复杂性的方法：


用熵度量复杂性，即用“香农熵”来度量。但这种方法有一些问题，它所针对的对象或过程必须转换成某种“消息”的形式，这并不总是那么容易做到的。


用逻辑深度度量复杂性。为了更加接近我们对复杂性的直觉，美国数学家查尔斯·班尼特提出“逻辑深度”的概念。一个事物的逻辑深度是对构造这个事物的困难程度的度量。虽然它具有很好的理论特征，也符合我们的直觉，但是并没有具体给出度量实际事物复杂性的方法。


用热力学深度度量复杂性。越复杂的事物越难构造，采用热力学深度来度量复杂性，首先要确定产生事物的合理时间序列，接着要测量事物的物理构造所需的热力源和信息源的总量是多少。与逻辑深度一样，热力学深度也只是在理论上有意义，要真的用来度量复杂性仍存在一些问题。


用算法信息量度量复杂性。事物的算法信息量指的是能对事物进行完整描述的最短计算机程序的长度。与熵类似，随机对象的算法信息量也会比我们直观上认为复杂的事物的信息量更大。


用计算能力度量复杂性。如果复杂系统能够执行计算，不管系统是天然的还是人工的，也许有可能用它们的计算的复杂程度来度量它们的复杂性。系统的计算能力如果等价于通用图灵机的计算能力，那就是复杂系统。


用层次性度量复杂性。复杂系统最重要的共性就是层次性和不可分解性。复杂系统由子系统组成，子系统下面又有子系统，不断往下。因此可以用层次性来度量复杂系统。


用分形维度量复杂性。分形维数决定了物体的自相似复制的数量，同时也决定了随着层次的变化，物体总的大小会如何改变。分形维数“量化了物体细节的瀑流”，也就是说，当你沿着自相似的瀑流越走越深时，它决定了你能看到多少细节。许多科学家都用分形维来度量真实世界的现象。不过，除了崎岖度和细节瀑流，还有许多其他种类的复杂性我们也希望进行度量。


还有许多度量复杂性的方法，各种度量都抓住了复杂性思想的一些方面，但都存在理论和实践上的局限性，还远不能有效刻画实际系统的复杂性。度量的多样性也表明复杂性思想具有许多维度，也许无法通过单一的度量尺度来刻画。