【回复听众】对熵的误解

上周熵增加和混沌是怎么出现的，这两期内容相比之前癌症，微生物与人体系列的节目难很多。评论中问题很多，我选几个典型的解释一下，首选就是有序和无序的描述容易出现误解，现在我们想象一个正方形里，布满了间距相等，样式一样的豆子，他们在这里排列得整整齐齐。还有一个图是一把豆子随意一撒，有一些豆子更紧密的凑在一起了，对这一堆豆子来说哪个熵更大呢？有条件的听众也可以打开屏幕看看资料里我给的图，您觉得哪个状态对应的熵更大呢？那我们用有序和无序这个标准来判断。

有人会觉得第一种情况，也就是左边的更有序，因为排列的整整齐齐嘛，这就是秩序嘛。而第二种情况，也就是右边的图，就是乱七八糟嘛，所以就是没有秩序。

其实这就是一个典型的误解，实际正确结果是，排得整整齐齐的那个是更加无序的，而洒得乱七八糟，这一团那一团的豆子更加有序。听到这个结果您可能一下蒙住了，明明是第一种情况更加整齐有序。

产生这样困惑的根源就是自然语言中有序的概念和物理词汇中的有序不一样，此有序非彼有序。第一种情况下所有豆子已经排满了它所占据的空间，没有一丝一毫再变化的可能，第二张中很多豆子都可以在它所在的区域中再挪动，所以第一种情况是最大的无序状态，第二种情况相对第一种更加有序。

还有听众问熵的定义让他感觉困惑，比如混乱程度，秩序，都是怎么度量的。其实您这个问题非常好，因为本来就是物理学的单位，他不是文学，定量描述才会让人感受。所以我专门用一个例子把您的疑问解答了一下，因为涉及的内容根本没法语音化，所以感兴趣的听众可以看这期资料里的内容，就是如何从状态数计算熵。如果您能用心看完相信会比只听节目的收获大。对熵这个概念来说，乱用的情况比较多，比如，什么东西一增加，一增长，就说是熵增加了，这都是过度解读。如果真要讨论熵增加，那么也得先从S=kLnW公式开始定义，你要讨论的例子里，谁是S，什么是状态数，状态空间的边界是什么。否则聊了半天也是一场空，就像文学里的有序和我热力学中的有序不是一个有序那样。

这方面我们听众里也有做的非常好的，胡萌同学的做法值得每个打算继续花功夫的人效仿，他听了混沌那期节目后用excel做工具算了一下那个包含-x^2的迭代公式，复现了节目里的内容，Xn的值随着R的增加刚开始缓慢增加，超过2以后开始在几个固定值上振荡，他做了100次迭代，观察到了大致的趋势，因为excel并不是一个数学工具，不方便迭代几千次，但已经通过自己的实践产生了混沌，这种做法收获也一定是最大的，他后来还看了bbc拍的纪录片《神秘的混沌理论》继续加深了理解，我也顺带向大家推荐这个纪录片。更向大家推荐胡萌的思考方式。

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例子：通过状态数计算熵的值

随机扔10个硬币，统计正反面结果，每种组合是一种状态。

扔出10个正面，对应几种状态？只有1种。

扔出9个正面+1个反面，对应几种状态？10种。

扔出8个正面+2个反面，对应几种状态？45种。

……

…………

………………

扔出5个正面+5个反面，对应几种状态？252种。

………………

…………

……

扔出2个正面+8个反面，对应几种状态？45种。

扔出1个正面+9个反面，对应几种状态？10种。

扔出10个反面，对应几种状态？只有1种。

所有结果是这样。

所以每种状态对应的

从这个例子我们可以看出正反各5个面的概率出现有最大可能。全正全反可能性最小。这仅仅是10个硬币的情况，而一般宏观物质里的微观状态数是比较多的，比如1ml水中有水分子10^24个分子，我们可以假象他们如果也是每个分子有“正反”两个状态数的话，那么所有分子都处于同样状态的可能性非常小。而分子的状态并不是“正、反”，往往是用位置，或者能量状态，所以数量真的统计下来，S=K·ln（W），实际上是比较难列出来的。