【极冷篇｜第三章：凝聚态物理】04 霍尔效应

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严老师讲义 

3.4.1 什么是霍尔效应？

超流和超导是凝聚态中比较奇特的物质形态，但远不止于此，上世纪八十年代发现的量子霍尔效应打开了凝聚态物理中研究的新篇章。

什么是量子霍尔效应？

首先要了解一下霍尔效应。霍尔效应在 1879 年由美国物理学家 Edwin Hall 发现。最初的霍尔效应其实很简单，将一块方形金属板两端接着导线通上电，这时导线里会有电流流过，这个时候垂直于金属板加上一个磁场，稳定之后就会在金属板垂直于电流方向产生一个电压，会产生这个垂直于电流方向的电压的效应，就叫做霍尔效应。

霍尔效应的设置

为什么会产生这个电压呢？我们知道，电流就是带电粒子的定向流动。由于有垂直于速度方向的磁场，带电粒子会在洛伦兹力的作用下拐弯，电荷打到金属板的侧面上并堆积起来。

堆积起来的电荷会产生一个电场，这个电场又会对电流里的电子产生库仑力，库仑力的方向跟洛伦兹力的方向相反。也就是当堆积的电子多到的一定程度，使得这两种力互相抵消时，电荷堆积的现象就会停止。这时带电粒子的受力恢复平衡，它会继续往原本的电流方向运动。堆积的电荷会在垂直于电流流动方向产生一个电压，这就是霍尔效应。此处我们可以定义一个数值，叫霍尔电阻，它等于横向的霍尔电压的大小，除以纵向流动电流的大小。

3.4.2 霍尔效应的物理图像

霍尔效应要解释起来其实挺容易，但神奇的是，上世纪 70 年代到 80 年代，科学家们发现了一种奇特的霍尔效应——量子霍尔效应。

在温度极低的环境下，把霍尔效应的磁场加强到一个极强的等级，就会出现量子霍尔效应，这时系统的霍尔电阻是一个量子化的数值。什么意思呢？

普通的霍尔效应在加了一个磁场以后会达到稳定态，这时由于电荷的堆积会产生一个垂直于电流方向的电压，我们管这个电压叫 V，原本的系统通电后会产生一个正常的电流，用字母 I 表示。我们定义一个数值叫霍尔电阻 R，R=V/I，就是这个霍尔系统的霍尔电阻。

霍尔电阻 R 应该跟什么参数有关呢？电阻等于横向电压除以电流，影响电流大小的有电荷密度，以及单个电荷的带电量，这里带电粒子就是电子，所以单个电荷带电量就是 e。

堆积的电荷建立的横向电场产生的库仑力要跟洛伦兹力平衡，但是洛伦兹力又正比于外加磁场，由此可以简单推论，这个横向的电场的大小应该与磁场的大小有关。可以想象，当我们调节外磁场的大小，整个霍尔电阻也会随之变化，且应该是一条斜向上的平滑直线。磁场越强，堆积的电荷越多，相应的横向电压就越大，霍尔电阻就应该越大。

如果我们把磁场加到很强，强到 10 个 Tesla（地球的磁场只有 1/100 Tesla 左右，10T 基本上是地球上能造出来的最强磁场了），再将温度降低到 1K 左右。这个实验的效果非常神奇，我们会发现这个霍尔电阻的图像，画出来居然是阶梯状的。如图文区所示，这张图的横坐标是外加磁场的强度，纵坐标是霍尔电阻的大小，霍尔电阻的单位是以 h/e^2 为单位的，e 是单位电荷数，h 是普朗克常数。

不同磁场强度下的霍尔电阻

也就是随着外加磁场的变化，当磁场很强的时候，霍尔电阻在一定范围内都是一个精确的恒定值，只有当磁场再强过一个大台阶，电阻才会有一个大的跳跃，然后再到一个新的恒定值稳定住。这每一个台阶的霍尔电阻的大小，其实可以写成(1/ν) h/e^2，ν是任何正整数，可以是1，2，3，4……也就是霍尔电阻的大小，其实是以整数分之一个霍尔电阻单位来变化的。

这个电阻的阶梯型特别稳定，哪怕金属板形状有变化、纯度不高，一些细微的扰动和变化都不会影响霍尔电阻的阶梯型，它的数值是一个精度达到了 1/10^10 的精确整数。

明明外加磁场是连续变化的，为什么霍尔电阻却按整数规律，离散的变化呢？其实说到离散，就想到量子化，并且这个电阻里还有普朗克常数 h，说明与量子力学有关。极低温下，正是多粒子系统量子力学效果占据优势的时候。

3.4.3 量子化的霍尔电阻

如何用量子力学来分析量子霍尔效应呢？首先来想象一下当磁场比较弱的时候，电子的运动轨迹。

磁场比较弱的时候，洛伦兹力小，电子在洛伦兹力作用下做圆周运动的半径比较大，因为力很小没法让它产生很大的偏转。这种情况下，大部分电子起初都会被打到金属板的侧面。

但如果磁场极强，这些电子会受到极强的洛伦兹力，甚至可以让这些电子原地转圈，形成一个个圆圈状的运动轨迹。

这种情况下，这个金属板要想导电就没那么容易了。在金属板内部的电子都在原地转圈，没有办法在电路里整体流动形成电流。但金属板边缘的这些电子还是可以形成电流的。金属板边缘的电子，我们假设它跟金属板边是弹性碰撞，正面碰上去之后会原速反弹继续形成一个新的半圆，转下去，再正碰，再反弹，如此反复。

强磁场下霍尔金属片当中电子的运动形态

所以，在磁场极强的情况下，只有边缘的电子可以参与导电。

有了这个认知，再来看看强磁场低温情况下，金属板里电子的运动状态满足什么规律。显然我们不能再用经典的电磁学去描述这些电子的运动，而是应该用薛定谔方程去描述这些电子的行为。

之前在解原子内部电子的运动的波函数的时候，用到了薛定谔方程，它描述了电子的能量。电子的能量有两部分，一部分是电子的动能，一部分是电子受到原子核库仑力的电势能。

对于量子霍尔效应也一样，这个金属板里的电子有动能，加上磁场提供的势能，这样就可以求解它的薛定谔方程。那么我们可以猜想，就跟原子里的电子轨道一样，量子霍尔效应的薛定谔方程也可以解出能量的量子化。

在量子霍尔效应里解出来的能量量子化的能级，叫做朗道能级（Landau level），由前苏联著名物理学家朗道率先发现。

每个能量等级都可以放电子。在量子霍尔效应环境下的电子能量都是量子化的。至于具体处在什么样的能量等级，就跟在原子里把电子填到各个轨道里的过程一样，量子霍尔效应里的电子，要先填能量最低的等级，然后一个个的往高能量等级填。

这样的能级怎么解释量子霍尔效应呢？霍尔电阻的阶梯状是怎么出来的呢？

这里要深入的理解一下霍尔电阻的定义，霍尔电阻就是横向电压比电流。在上面的图像当中，我们发现电流其实只跟边缘的电子运动状态有关。横向电压又跟什么有关呢？横向电压由堆积在金属板边缘的电荷数量决定，也就是跟堆积在金属板边缘的电荷密度有关。两个密度之比决定了霍尔电阻的大小。

在变化磁场的范围下，如果金属板边缘的电荷密度与边缘电流的电子密度之比，是一个恒定不变的值，这样就可以解释为什么霍尔电阻在提升磁场的情况下是一个恒定的值了。

通过解薛定谔方程可以发现，电子的不同能量等级对应了不同的朗道能级，也就是电子在二维金属板当中，它存在的能量等级符合能量最低原理，它们的排布状态也是从低能量开始，填满了低能量的朗道能级，才会再填高能量的朗道能级。

来看单个电子的行为，这块金属板里有一定数量的电子，每一个电子平均下来都占据了一块空间，这样就存在一个数值，叫做电子密度。这个电子可以在这块空间里面按照它的朗道能级来进行摆放。我们知道电子在朗道能级里的运动状态是转圈或者转半圈的，转圈对应于金属板内部，转半圈就对应于金属板的边缘。

电子转圈，本质是因为有磁场通过，电子围绕着磁场转圈，磁场强度越大转圈的半径就越小。因为磁场强度越大，洛伦兹力充当的向心力就越强，越强的向心力就能转越小的圈。每个圈代表了一个电子可以占据的状态。每个圆圈都有面积，磁场越强圆圈的面积就越小。也就是一个电子占据的面积中，磁场越强，就能有越多个圈存在于这块面积当中。

现在我们来论证，一个电子占据的面积中，圆圈越多，导电的电流就越小。如果一个电子占据的面积中有三个圆圈，也就是最多可以容纳三个电子在这个面积里参与电流的输送，但是这个时候其实只有一个电子，只能占据一个圈，也就是这块面积输送电流的能力没有被填满，因此电流比较小。如果磁场不大，一个电子占据的面积中，只有一个圈，那就说明这里面可以运送电流的能级都被占满了，这样运送电流的效率高，电流大，相应的霍尔电阻就小。

所以这就解释了为什么磁场越强霍尔电阻越大。因为磁场越强单位面积的圈圈数量多，但电子数是恒定的，相应空的圆圈就多，输送电流的能力就弱，因此电阻就大。

电阻的阶梯状又应该怎么解释呢？不要忘了，朗道能级的不同能级之间有能量间隔，也就是能隙（Energy Gap）。这就代表单位面积里的圈圈的个数只能是整数个，比如说单位面积是 1，这个时候圈圈的面积是 0.3，这时候单位面积里就只能有 3 个圈圈，不能有 3.3 个圈圈的存在，0.3 个圈圈对应的能量不以整数变化，刚好落在能隙当中，是不被量子系统所允许的。也就是单位面积里的圈圈的个数只能是整数个，2、3，4、5 个都可以，但是 2.5 个就不行了。

圆圈的面积是量子化的，因此在连续变化的磁场时，一定范围内单位面积里圆圈的个数是恒定的，只有变化到一定程度，圆圈的个数做整数的变化，才有可能改变霍尔电阻。比如说单位面积是 1，圈圈的面积是 0.5，那单位面积里可以容纳两个圈，当你的磁场连续增大，圈圈的面积从 0.5 开始连续减小，那么直到圈圈面积减小到 0.33 之前，这块面积中的圈圈的个数都是两个，这就出现了磁场变化，但是单位面积里圈数不变化的现象，圈数不变说明霍尔电阻不变。

这就是为什么霍尔电阻在强磁场的情况下，不是连续变化，而是跳跃变化的，场的大小在一定范围内，霍尔电阻呈台阶状。

我们之前说过，霍尔电阻是按 1/ν整数的倒数规律变化的，这里的ν叫做填充比（filling fraction）指的就是电子密度比朗道能级的密度。

3.4.4 分数量子霍尔效应

以上我们分析的是单个电子占据的面积当中，只能有整数个圈圈，不能有 2.5 个圈圈的情况。难道就不能 3 个电子占据的面积当中，有 7 个圈圈，每个电子平均下来分到 3/7 个圈圈吗？也可以，这其实对应了分数量子霍尔效应。分数霍尔效应下，电子之间也有比较强烈的相互作用，这种情况下电子密度和圈圈的密度是可以成分数的比值的，这是只有当电子之间的相互作用比较强烈的情况下才会出现的现象。

霍尔电阻不仅在强磁场下有整数变化的规律，还有分数变化的规律。分数量子霍尔效应可以说是打开了一个全新的领域，甚至可以说是把凝聚态物理的地位提升到了一个极高的高度。分数量子霍尔效应意味着，我们可以通过凝聚态的量子系统去人为创造出一些自然界本不存在的物理学规律。

比如之前讲的基本粒子在统计规律上分为两大类，分别是玻色子和费米子。如果两个玻色子相互交换位置，它们整体的波函数会获得一个数值是 1 的相位，就是本来的波函数假设是φ（x,y），x和y分别是两个玻色子的坐标，然后把两个玻色子交换，变成了φ（y,x），两个玻色子的交换会告诉我们，φ(x,y)=φ(y,x)，但如果是费米子，会获得一个-1的相位，也就是φ（y,x）=-φ(x,y)。

但是分数量子霍尔效应这个分数的意义就在于，我们可以在量子系统中获得一些等效的粒子，这些等效粒子在统计规律上，它们既不是玻色子也不是费米子。交换这两个等效粒子，它们的波函数获得的相位不是 1 也不是-1，而是一个模是 1 的复数。

这样的粒子，在自然界中目前看来是不存在的，完全是分数量子霍尔效应当中产生的奇特现象。其实我们的基础物理研究指出了一个新方向，就是除了用高能对撞机不断撞出更小的粒子，我们也可以尝试用人为构造的凝聚态系统，模拟出一些最基本的物理原理。分数量子霍尔效应就是一个很好的例证，我们通过这个凝聚态系统甚至模拟出了自然界中本不存在的粒子物理的规律。华人科学家崔琦，就是因为在实验上做出了分数量子霍尔效应，获得了 1998 年的诺贝尔物理学奖。

所以我们发现在低温环境下，系统的量子特性开始显著，会有非常多神奇的材料特性展现出来。将电子之间的相互作用考虑进去以后，与之前的固体物理比起来，又有了一个全新的研究领域——强关联电子系统。