【极冷篇｜第三章：凝聚态物理】02 声子

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严老师讲义 

在讨论超导体之前，先了解一个重要的物理学概念——声子（phonon），顾名思义，是一种声音形态的粒子，它跟材料的声学性质息息相关。

为什么我们要在一个看似用量子力学讨论问题的章节讨论声学性质呢？声学跟量子力学似乎毫无关系，声波无非是机械振动而已。当然，低频的、人耳可听到的声波，甚至几万、几十万赫兹的超高频的超声波，不会涉及量子力学。声子可以被认为是声波的量子化，就好像光波的量子化，叫光子一样，声波的量子化就是声子。

3.2.1 晶格的振动

声音到底是什么呢？声音是人耳的一种知觉，从物理学的角度来看，声音就是一种机械振动。比如，声音在空气里传播，空气分子在声波带动下传递这种振动，形成了声波。声波也可以在固体中传播，由于固体拥有更大的密度，分子之间的距离更近，相互作用更加迅速，固体中的声速要高于空气中的声速。

在讨论晶体能带结构的时候，我们做了一定的模型简化，假设晶格（也就是原子的原子核）不动，只是提供正电荷，让电子感受到多个正电荷的电势能。

但实际情况并非如此，晶格的振动是存在的。固体之所以能形成，是因为原子之间有相互作用力（不论是范德瓦尔斯力，还是形成了化学键），这个相互作用允许原子振动。当然，固体里的原子只能在平衡位置周围振动，如果能自由移动就不是固体，而是液体或气体了。对于晶体这样的固体，代表晶体结构的几何位点叫晶格（crystal lattice），原子一定是以晶格为平衡位置进行振动的。

3.2.2 晶格振动的量子化

原子的振动根本上也遵循量子力学的规律，可以用量子力学解原子按晶格排列的薛定谔方程。它依然是一个按晶体的几何结构进行周期性变化的薛定谔方程，这样，我们就可以解出原子振动（或者说晶格振动）的能带结构。带和带之间存在能隙，能隙中间的这段频率无法在晶体中传播。

晶格的机械振动，应当被视为一种量子化的行为。不像由频率和振幅共同确定的普通声波，晶格机械振动的能量由它的频率唯一确定。也就是于用量子化条件解出来声波的行为不像波，而像粒子。一个晶格振动起来，把这种振动模式传递出去，振动模式在晶格之间传递，它就更像是粒子的行为，而非波的行为，因此这种量子化的晶格振动行为被称为声子。

我们不能通过增大振幅，来让某一种频率的声子能量更高，因为振幅是固定的、是量子化的，我们能做的是增加这种频率的声子的个数。这就像在【极小篇】第二章讨论量子力学的最初问题——黑体辐射时所说，普朗克解释黑体辐射的基本假设就是光子的能量是一份一份的，声子的能量也是一份一份的。

3.2.3 声子到声波的过渡

但是经典意义上的声波（也就是机械波），有振幅有频率，确实可以在固体里传播，这与声子的定义是矛盾的。我们应该如何完成量子化的声子到经典意义上的声波的过渡呢？

普通的声波、人耳可以听到的，频率非常低。钢琴的音，频率大概也就是几百到几千赫兹，但是量子化的声子的频率是极高的，大约能高到 10^12 赫兹，也就是一万亿赫兹的数量级。频率低波长长，频率高波长短。

经典的声波波长都很长，普通声波的波长在厘米、分米、甚至米这样的数量级，在这样巨大的量级下，声波进入固体，固体中的原子会随之做整体运动，任何两个相邻原子发生的位移几乎没有什么差别。

普通声波的传播是一种宏观行为，不涉及原子微观的运动，但是对于量子化的声子这样高频率、波长在纳米数量级的声波，相邻原子的运动方式会有巨大的区别。声波波长的长短，直接决定了考虑经典的宏观性质还是量子的微观性质。

这就是声波从量子到经典的连接和过渡。声子的概念极其重要，在下一节就会讲到，声子是理解超导理论的关键。