[S02] 051 混沌是怎么出现的

一、复杂系统都有哪些

1、有些复杂系统我们可以眼瞅着他们一点一滴形成，比如神经系统最初从受精卵发育，出现脊索，干细胞分化成神经细胞，神经细胞连接成神经元。但等到婴儿可以做出神经反射的时候，那时的复杂度已经是我们无法理解和模拟的了。一窝蚂蚁从雌蚁飞出窝，单个一只，逐渐发育成一窝几百万只蚂蚁的蚁窝，这么多蚂蚁没有中央信号的调控，怎么维持蚁窝生态平衡的？这个也是从零涨起来的一个复杂系统的例子。

2、有些复杂系统我们没有机会观察他们从零长大，比如稳定的政权组织形式，全球经济的运作。

二、关键词：非线性

1、非线性是造成复杂性的一个重要原因，最简单的理解就是，两个量之间的数学关系不是成比例的直线。比如Y=X² 这样的关系就是典型的非线性。

2、非线性造成了：整体不等于部分之和。哪怕是简单的二次方关系也会在迭代计算过程中出现令人费解的情况。

3、物理学家费根鲍姆对生物群落数量做出一个数学模型，公式的形式就是（下一年的X）X_n+1=R×X_n×（1-X_n）,这里面R是个系数，Xn是本次的结果，Xn+1是下一次的结果，而且是一个0-1之间的数。这里就出现了-X²这一项。

三、混沌的出现

1、当我们着眼于公式X_n+1=R×X_n×（1-X_n）时，代表（出生率 - 死亡率），X_n代表当前种群数量比空间可容纳最大数量之比。当R=2时，不论X₀的值等于多少，最后都会在几次迭代后，X最终等于50%。

2、当R逐渐增大后，X会逐渐增加，直到R=3.1以后X不再固定在一个值上，而是在2个固定值间跳变，随着R继续增加，会在4个固定值间跳变，之后随着R增加，跳变周期会按8个、16个、32个、64个的样式增加。这个趋势在R=3.57后，跳变周期会趋于无穷大，混沌出现。

3、当混沌出现后，初始值X₀上微小的差异都会在迭代几次后出现巨大的偏差。

四、混沌与复杂

1、如果一个系统今后的状态无法预测了，我们就把它理解成复杂，那么一个非线性系统在进入混沌点之前的状态，我们是可以通过测量+定理来预测的，这个点之后的状态因为微小的测量偏差都有导致巨大的偏离，所以不可预测（所以复杂）。微小的偏差甚至指10个数位的测量精度。

2、混沌状态让人们关注的原因是，这种复杂的产生没有额外引入任何干扰，而完全是由它从前规范、确定的定律中迭代而来，所以混沌是非线性系统的内秉属性，无法去除。

五、太阳系的稳定性

1、三体问题就是典型的非线性系统，庞加莱在当年因为标准三体问题过于复杂，把它简化为“限制性三体问题”，结果一样复杂。

2、限制性三体问题就是假设一个双体问题，互相围绕旋转，再增加一个质量远小于他们的第三体，求第三体收到双体的引力之和会出现怎样的轨迹。庞加莱最终的结论发现，限制性三体问题，会因为初始值稍有偏差而导致后续结果无法预测。

3、太阳系行星运动规律最早由开普勒、牛顿等建立，但那时无法很好描述土星和木星的轨道偏差，这是因为牛顿忽视了其他行星之间的引力，他的理由是太阳占据整个星系99.8%以上的质量，实际上也因为他缺少足够的数学工具处理那些微扰。

4、拉普拉斯，拉格朗日，欧拉，这些大数学家用自己的强项数学帮牛顿填上了坑，从此轨道倾角，节点经度，离心率，远日点等等参数让太阳系行星轨道更精确，那时人们相信，，只要数据足够全，我们甚至可以预测整个宇宙的未来。

5、但庞加莱对限制性三体的研究打破了人们的美梦，但当时庞加莱的研究属于非主流，并未被广泛接纳。

6、现代计算机的应用大幅推进了混沌的研究，因为迭代计算往往是一种计算量巨大而又枯燥的工作。在计算太阳系行星时发现，外太阳系四颗气态行星比内太阳系四颗岩石行星的轨道要稳定很多，稳定性最差的是水星，在不考虑广义相对论效应时，水星进动最终导致它在太阳的有生之年轨道坠入太阳或与其他行星轨道相交的几率超过10%，不过好在有相对论效应补充，这时出问题的几率在1%。