【极热篇｜第三章：复杂系统】03 混沌系统

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3.3.1 蝴蝶效应

我相信你一定听过蝴蝶效应，它是由一名叫洛伦兹的气象学家提出的。这个洛伦兹跟我们电磁学里的那个洛伦兹力的洛伦兹不是一个人，洛伦兹是一个很普遍的姓氏。蝴蝶效应的原话是：”一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，两周后可能在美国德克萨斯引起一场海啸。“

蝴蝶效应并不是说因为这只蝴蝶扇了翅膀，直接导致了德克萨斯的海啸。天气系统是一个极其复杂的系统，初始条件的不同会导致完全不同的结果，这才是蝴蝶效应的真实意思。

3.3.2 确定系统的非确定性

这类问题引出的系统，叫做混沌系统（Chaotic System）。这类系统对初始条件极其敏感，它表现出一种巨大的随机性。注意，此处的随机性跟我们在【极小篇】里提到的量子力学的不确定性原理所对应的真随机性不是一回事。量子力学里的随机性对应的系统本来就是不确定的系统。但是混沌系统，通常是完全确定性的系统，比如天气系统。我们可以认为天气系统里每个空气分子的运动形态，都可以被确定。

但由于系统对于初始条件、误差以及扰动的敏感性，会导致这个系统变得完全无法预测。这里的无法预测应当被理解为在目前的数学体系框架下的无法预测，但系统的规律却是确定的。每一个粒子的运动规律，都唯一被牛顿定律牢牢固定。任何单个粒子与其他粒子相互作用，发生碰撞前后的规律是确定的。但整个系统又特别敏感，导致从方法论上无法解出它的变化规律。

混沌系统是一个完全确定的系统，但是初始条件的极小偏差，并不保证结果的偏差也是极小的。

从数学上描述混沌系统的方程式通常有一个特点，叫做非线性。也就是在方程式里，会出现速度的平方项、位置的平方项这样的数学表达。如果存在一个误差，由于有平方项，这个误差就会在计算的过程中呈指数规律增大，最终会被放大到极其远离正确答案的路径上去。

系统方程的非线性，是导致系统混沌性的一个根源。

3.3.3 混沌系统的研究方法

从数学上看，当面对这样的混沌系统，我们似乎是无能为力了。这种情况在研究量子力学时也碰到过，由于不确定性原理，我们发现已经无法用原子中电子的具体轨道来描述电子的运动了。于是发明了概率波来描述粒子的运动，抛弃追求电子轨迹的执念，寻找一种新的描述语言也可以解决问题。科学家们甚至总结出了不确定性原理，它从原理上告诉我们，电子不存在轨迹，因为位置和速度无法同时被确定。同样的，面对混沌系统，我们是不是也应该抛弃计算系统随时间变化的具体规律，转而去寻找一些混沌系统的其它规律呢？

答案是肯定的。对于混沌系统，我们可以去寻找它们的特殊解和稳定解。

先来说说看什么是特殊解。我们在三体问题里就说过一些特殊解。三个质量相同的天体，分别占据正三角形的三个点，以一定速度围绕中心转动，这种解必然是存在的，这就是个特殊解；如果两个天体质量很小，一个天体质量很大，两个天体一近一远围绕大天体运动，就好像太阳系的行星绕太阳运动一样，这种解也肯定是存在的。这两个解，都是三体问题的特殊解。

在混沌系统中，由于系统随时间的变化规律杂乱无章。所以这里的特殊解对应的是在杂乱无章的运动中，有规律的那些解。它们通常是周期性、有特征的，这叫做特殊解。

但是特殊解未必都是稳定解。还是拿三体问题的两种特殊解来看，三个天体一起运转这个解明显不稳定。为什么？因为只要有一个天体稍微偏离一点点，这个运动形态就破溃了，系统不会自发的回到这个状态，这叫做对于扰动的反馈不稳定。

但是两个小天体围绕一个大天体转这种情况是稳定解。为什么呢？我们在【极大篇】里已经讲过，天体的运动是做进动的椭圆，即便对于小的天体来说它的轨道有一些偏离，但依然可以保持围绕大天体运动的整体趋势。这种运动模式不会破溃，所以是一个稳定解。

有了对稳定解的认知，我们可以换一下对混沌系统研究的目标，不再着眼于去找出它具体随时间变化的运动规律，而是去寻找它所有的稳定解。混沌系统的运动规律就是在稳定解之间切换，稳定解也并非 100%的稳定，每一个稳定解都有一个稳定的限度，扰动在一个范围内可以回到原本的状态，但扰动若是过大就不行了。因此稳定解的稳定性也是值得讨论的。

就像庞大无比的天气系统，显然就是个混沌系统。天气系统虽然变幻莫测，但它总是在几种特定的天气当中切换：晴天、阴天、雨天、雷暴、雪天、台风天等等。这些天气情况，就是天气系统的局部稳定解，它是天气系统的运动模式（Pattern）。

如此一来，我们研究混沌系统的目标就发生了变化：找出特殊解、稳定解，再去研究不同稳定解需要什么程度的扰动才会被破坏，被破坏以后会往什么方向发展，再去到新的稳定解。

3.3.4混沌系统与量子系统的区别

到这里可以拿混沌系统和量子力学系统做一个类比。量子力学系统也没有确定轨迹，但是可以通过波函数解出那些量子化、能量确定的稳定态。一个广义的量子态是若干个稳定态的叠加，这是哥本哈根诠释。测量的过程是一个叠加态的波函数坍缩到其中一个稳定态，类似的混沌系统也在不同稳定态之间切换。对于不相信哥本哈根诠释的人，也许会认为量子系统从本质上来说，也是一种微观的混沌系统。

这里触及了一个颇具哲学感的问题：什么是真随机？我们知道混沌系统从测量的角度来说，也是随机的。即便你知道整个混沌系统的规律是决定性的，但只要观察者所有的感知方式都无法预测这个系统，这个系统是否就可以被称为是真随机呢？如果真的如此，混沌系统的确定性加上高复杂度所达到的随机，与量子力学的真随机，在本质上是一样的。但是量子纠缠的存在告诉我们，量子力学的随机如哥本哈根诠释所说，不光在测量上是随机的，在原理上也是个真随机系统。